relación entre las operaciones sets

Question

Me preguntaba acerca de la relación entre el complemento de un subconjunto diferente entre los dos subconjuntos, de la unión y la intersección de los subconjuntos. Podemos reducir el conjunto de las operaciones anteriores en un mínimo de forma que otras operaciones que pueden ser representados por estos "independientes" de las operaciones? Y cómo muchas maneras de hacer esto?

Por ejemplo, la intersección (o unión) puede ser representado por el complemento y la unión (o intersección) de la misma manera como en la ley De De Morgan.

Pero, ¿podemos representar complementar o diferencia en términos de la unión y la intersección?

Gracias!

Answer 1

Bien, diferencia de set se define en términos de intersección y complemento: $A\setminus B = A\cap B^C$. (Personalmente, prefiero la notación $A-B$ $A\setminus B$, pero este último es relativamente estándar en mi experiencia).

Como usted nota, leyes de Morgan nos permiten traducir entre Unión e intersección a través de complementos. Más allá de esto, debemos tener por lo menos Unión y complemento (o, equivalente, intersección y complemento). Es decir, no podemos definir complemento únicamente en intersección y Unión de términos.

Answer 2

Hay una definición "mínima" de las operaciones de ajuste, aunque no es realmente una restricción de los clásicos y es más un truco que una mirada inteligente. Fue descubierto por Charles Sanders Peirce, para general boleanas.

Que $A\uparrow B=(A\cap B)^c$. Entonces $A\uparrow A=A^c$. Así $(A\uparrow A)\uparrow(B\uparrow B)=(A^c\cap B^c)^c=A\cup B$. Del mismo modo, $(A\uparrow B)\uparrow(A\uparrow B)=((A\cap B)^c)^c=A\cap B$. Y entonces usted puede conseguir diferencia o cualquier otra cosa, como se esperaba. Usted puede hacer lo mismo con $(A\cup B)^c$.

Answer 3

También podríamos escribir set diferencia en términos de intersección y complemento como: $A \cap B = A - (A - B)$. (Yo también prefiero $A - B$ a $A \setminus B$)

Esta expresión resulta útil cuando se trata de cardinalidad.