Un problema relacionado con la integración en $L^1$

Question

Si $f\in L^1[0, 1]$ y $\int_{0}^1 x^nf(x)=0$ % todo $n = 0,1,2,...$luego probar que $f$ es idénticamente cero casi por todas partes.

Esto sería muy fácil demostrar si $f$ era continua en $[0, 1]$ aplicando el teorema de Stone-Weierstrass. ¿No es? Incluso sé que cada función de $L^1$ es apropiada por la función continua. Puedo usar este hecho aquí para probar este problema. Realmente necesito ayuda.

Answer 1

Aplicando el teorema de aproximación de Weierstrass, se sigue que \int_{0}^{1}g $$ ((x)dx f x) = 0, \; \; \; \in g C [0,1]. $$ $g_{h}$ $0$ $[0,y]$, A la rampa lineal y continua a $1$ $[y,y+h]$ y $1$ $[y+h,1]$ de definir. Entonces $$ \int_{0}^{y}f (x)dx = \lim_{h\downarrow 0} \int_ {0} ^ {1} g_ {h} ((x)dx f x) = 0. $$ Tiene lo anterior para todas las $0 \le y < 1$. Por el teorema de la diferenciación de Lebesgue, $\frac{d}{dy}\int_{0}^{y}f(x)dx=f(y)$ a.e., que significa $f=0$ a.e..

Answer 2

Un enfoque alternativo es el siguiente: la función $$ g_n(x) = \frac{2^{2n+1}}{(2n+1)\binom{2n}{n}}(1-x^2)^{n} $ $ es un polinomio de grado $2n$, con integral $[-1,1]$ igual a uno. $g_n(x)$ se concentra alrededor del origen, por lo que $g_n(x)$ converge en distribución a una función delta de Dirac. Si $x_0$ es un punto de Lebesgue $f(x)$, tenemos:

$$ f(x_0) = \lim_{n\to +\infty}\int_{-1}^{1}f(x)\,g_n(x-x_0)\,dx = \lim_{n\to +\infty} 0 = 0 $ $ por lo tanto, $f\equiv 0$ casi en todas partes.