Probabilidad con cálculo

Question

Un punto se elige al azar en la región delimitada por la curva $y = x^2$ y la línea $y = 4$. Hallar la probabilidad que la $y$ coordenada es menor que $a$ para cualquier $a$ en [0,4].

Creo que necesito usar cálculo para encontrar el área bajo la curva. Sin embargo, puesto que se limita a $y$ de 0 a 4, parece que la respuesta debe ser $\frac{1}{2}$. Por favor ayudar a guiarme en la dirección correcta para empezar, incluso si mi intuición es correcta.

Answer 1

Puesto que la zona es limitada arriba por $y=4$, los límites de integración van desde $[-2,2]$.

El área de interés es

$$A_{total} = 16 - \int_{-2}^{2}x^2dx = \frac{32}{3}.$$

Si uno considera puntos no más que $a$, entonces los límites de integración en esta área van desde $[-\sqrt{a},\sqrt{a}]$. El área de interés es:

$$A_{\leq a} = 2 \sqrt{a^3} - \int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}}x^2dx = \frac{4 \sqrt{a^3}}{3}.$$

Entonces

$$\frac{A_{\leq a}}{A_{total}} = \frac{\sqrt{a^3}}{8}.$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $x=\sqrt{y}$, por lo que necesita el área bajo la curva: 2 $\int_{0}^{a} \sqrt{y} \,dy$.

Answer 3

Integración no es necesaria ya que Arquímedes demostraron hace mucho tiempo que la parábola $y=x^2$ divide el rectángulo opuesto puntos $(0,0)$ y $(c,c^2)$ $1:2$. Por lo tanto, la probabilidad es $\dfrac{\frac{2}{3}a\sqrt{a}}{\frac{2}{3}\cdot2^2\cdot2}$.