Números primos en un modelo no estándar

Question

No puedo imaginar cómo esto es posible:

Que $\mathcal{M}$ sea un modelo no estándar de la aritmética. Muestran que:

• Hay un elemento $a\in M$ tales que para todos los números primos $p$, tenemos que $\mathcal{M} \vDash S^p0|a$.
• Hay un elemento $a\in M$, $a>1$ tal que ningún número primo $p$, tenemos que $\mathcal{M} \vDash S^p0|a$.

¡Muchas gracias! :)

Answer 1

Su notación para la primera reclamación sugerimos que significa "cada primer" cada estándar prime. Entonces puede ocurrir, ya que hay números de $a$ en el modelo mayor que todos los números normalizados y, por tanto, mayor que todos los números primos, y cada número tiene un factorial $a!$. No hay ningún número en cualquier modelo es divisible por cada prime en el modelo, puesto que PA demuestra cada número tiene algunos de los mejores mayor que ella.

Además, no hay ningún modelo tiene un número no divisible por cualquier prime en el modelo, sino que cada modelo no estándar tiene números no divisibles por cualquier estándar prime, ya que usted puede tomar el número $a$ por encima y tomar cualquier prime más que eso.

Answer 2

Deje $\varphi$ ser la frase que dice que por cada $x\gt 0$ no es un porcentaje ($y\gt 0$tal que $t$ divide $y$ por cada $t$ en el intervalo de $0\lt t\le x$.

Esta frase no es difícil escribir en la lengua habitual de primer orden de la aritmética, y es cierto en los números naturales.

Ahora vamos a $M$ ser un no-modelo estándar de la "verdadera aritmética," y vamos a $m\in M$ ser mayor que el estándar entero. Entonces a partir de la $\varphi$ que es verdad en $M$, hay un $a$ tal que $t$ divide $a$ por cada $t$ en el intervalo de $0\lt t\le m$. En particular, cada norma primer divide $a$. (Desde $\varphi$ es un teorema de primer orden de la aritmética de Peano, el mismo argumento funciona para los modelos de la teoría.)

Para la segunda parte, en lugar de la $a$ de el argumento anterior, el uso de $a+1$.

Answer 3

No puedo imaginar cómo esto es posible

El punto de este tipo de problemas es que funciona como $N!$ para el primer problema y $N!+1$ para el segundo extienden el modelo general no estándar y comparten las mismas propiedades de primer orden (como ser divisible o no por los números primos hasta $N$) pero sus valores al infinito $N$ tienen interesantes propiedades cuando se ve desde el exterior.