Nombre para la introducción de la negación con cuantificadores

Question

La reescritura de $\varphi\to \psi$ en el equivalente lógicamente $\neg \psi\to\neg \varphi$ se llama contraposición.

Hay una palabra similar para reescribir $\forall x.\varphi$ a $\neg\exists x.\neg \varphi$?

Las dos operaciones son similares en que reemplazar una construcción lógica con uno en el que el subformulas de la original aparecen negados en su lugar.

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Antecedentes: me encontré con esto cuando me di cuenta de que el conjunto teórico Axioma de Regularidad parece mucho más intuitivo y motivado si en lugar de la habitual de la formulación de

R. Cada conjunto no vacío $A$ tiene un elemento que es disjunta de a $A$.

uno piensa que es

R'. No hay ningún conjunto no vacío $A$ de manera tal que cada elemento de a $A$ tiene un elemento que es propio en $A$.

(El conjunto que R' afirma que no existe, sería un universo testigo de uno o más infinitamente descendente $\in$-cadenas (al menos si Dependientes de la Elección mantiene en el nivel meta)).

Pero luego descubrí que no tengo un buen sucinta manera de describir la reescritura que me consiguió R a R'.

Answer 1

Hay una palabra similar a la de la reescritura de ∀x.φ en ∃x.φ?

Respuesta corta: No.

O al menos no sin duda no es uno de uso común.

Hacer ese tipo de movimientos en una prueba en una conferencia, probablemente me acaban de decir "Por [los familiares] cuantificador de equivalencia, ..."

Por cierto, la observación de que la Regularidad es más intuitivamente atractivo en la versión $\mathbf{R}'$ es sin duda exactamente a la derecha (creo que algunos de la intro conjunto de libros el mismo punto de vista, pero sin duda es un punto que vale la pena hacer!).

Answer 2

Contraposición en la clásica lógica puede ser "reducido" a la equivalencia entre :

$p \rightarrow q$ $\lnot p \lor q$.

Así, a partir de :

$\varphi \rightarrow \psi$

el uso de Conmutatividad : $(\lnot \varphi \lor \psi) \leftrightarrow (\psi \lor \lnot \varphi)$, y la Doble Negación , se obtiene :

$\lnot \psi \rightarrow \lnot \varphi$.

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Para los cuantificadores, podemos aprovechar la "analogía" entre el $\forall$ y un infinito conjunto y $\exists$ y un infinito abismo.

Por lo tanto, a partir de la correspondencia entre :

$\forall x \varphi(x)$ $\varphi(x_1) \land \varphi(x_2) \land \ldots$

y la aplicación de una especie de "infinito" De Morgan, tenemos que :

$\lnot \forall x \varphi(x)$ corresponden a : $\lnot \varphi(x_1) \lor \lnot \varphi(x_2) \lor \ldots$

lo que de nuevo puede ser leída como : $\exists x \lnot \varphi(x)$.

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Por lo tanto, si queremos "bautizar", creo que "De Morgan" es más apropiado que el de "Contraposición".

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Nota

Tenemos que destacar que las tres equivalencias utilizadas :

$(p \rightarrow q) \leftrightarrow (\lnot p \lor q)$

$\lnot \lnot p \leftrightarrow p$

$\lnot (p \land q) \leftrightarrow (\lnot p \lor \lnot q)$

mantenga sólo en la clásica lógica.

Answer 3

Desde el cuantificador universal en $\varphi$ es equivalente a una conjunción de $[\overline{a}/x]\varphi$ de todos los elementos $a$ del universo $U$ (y lo mismo vale para el cuantificador existencial en términos de las disyunciones), que son considerados para ser generalizaciones de De Morgan leyes, como otros contestó:

$$\begin{align} \neg \forall x (\varphi) & \equiv \neg \bigwedge_{ a \in U} [\overline{a}/x]\varphi \tag{1} \\ &\equiv \bigvee_{a \in U} [\overline{a}/x]\neg\varphi \tag{2} \\ &\equiv \exists x \neg (\varphi) \tag{3} \end{align}$$

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Acerca de su observación en el Axioma de Regularidad en la teoría de conjuntos, diría yo mismo experimente el mismo fenómeno sobre el Teorema de Compacidad:

$Γ$ tiene un modelo de ⇔ cada subconjunto finito $Δ$ $Γ$ tiene un modelo.

Particularmente, siento que ($\Leftarrow$) sonidos de sentido común, cuando en su contrapositivo formulario

$Γ$ no tiene ningún modelo ⇒ Algún subconjunto finito $Δ$ $Γ$ no tiene ningún modelo.

parece más transparente.