Escribir una función $f$ cuando $x$ y $f(x)$ se conocen

Question

Estoy tratando de escribir una función. Para cada posible entrada, yo sé lo que quiero para la salida. El dominio de las posibles entradas es pequeño:

$$\begin{vmatrix} x &f(x)\\ 0 & 2\\ 1 & 0\\ 2 & 0\\ 3 &0\\ 4 &0\\ 5 &0\\ 6 &1\\ \end{vmatrix}$$ Mi idea es empezar con una función de $g(x)$ que transforma $x$ a un valor de la que puedo restar una función de $h(g(x))$ y recibir mi deseado $f(x)$: $$\begin{vmatrix} x &g(x)& h(g(x)) &f(x)\\ 0 & 7& 5 & 2\\ 6 & 6 & 5 & 1\\ 5 & 5 & 5& 0\\ 4 & 4 & 4 & 0\\ 3 & 3 & 3 & 0\\ 2 & 2 & 2 & 0\\ 1 & 1 & 1& 0 \end{vmatrix}$$ Pero no estoy seguro de dónde ir de allí, o incluso si me estoy dirigiendo en la dirección correcta. ¿Cómo debo enfoque de la creación de esta función? Hay una forma metódica para ir sobre él, o es de prueba y error (y el conocimiento)? Siéntase libre de sugerir modificaciones a cómo estoy declarando mi problema, también. Gracias.

Answer 1

Usted puede generalizar el problema: supongamos que usted sabe el valor de $f(x)$ para un determinado conjunto finito de valores de $x$. (Aquí, usted sabe el valor de $f(x)$ al $x=0,1,2,3,4,5,6$.) A continuación, puede encontrar una posible función polinómica $f$ que toma los valores dados utilizando el siguiente método.

Supongamos que usted sabe el valor de $f(x)$ al$x=x_1, x_2, \dots, x_n$,$f(x_j) = a_j$$1 \le j \le n$.

Vamos

$$P_i(x) = \lambda (x-x_1)(x-x_2) \cdots (x-x_{i-1})(x-x_{i+1}) \cdots (x-x_n)$$

Donde $\lambda$ es una constante. Es decir, es $\lambda$ veces el producto de todos los $(x-x_k)$ términos con $x-x_i$ a la izquierda. A continuación, $P_i(x_k) = 0$ siempre $k \ne i$.

Nos gustaría $P_i(x_i) = 1$: entonces, si nos vamos a

$$f(x) = a_1 P_1(x) + a_2 P_2(x) + \cdots + a_n P_n(x)$$

a continuación, ajuste de $x=x_j$ envía todos los $P_i(x)$ lo que se refiere a cero excepto $P_j(x)$, dejando $f(x_j) = a_jP_j(x_j) = a_j$, que es exactamente lo que queríamos.

Así podemos establecer $\lambda$ a ser igual a $1$ dividido por lo que se consigue mediante el establecimiento $x=x_j$ en el producto: este nunca es cero, así que sin duda, nos puede dividir. Así, obtenemos

$$P_i(x) = \dfrac{(x-x_1)(x-x_2) \dots (x-x_{i-1})(x-x_{i+1}) \dots (x-x_n)}{(x_i-x_1)(x_i-x_2) \dots (x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1}) \dots (x_i-x_n)}$$

A continuación, $P_i(x_k) = 0$ si $k \ne i$ $1$ si $k=i$, que es simplemente excelente.

De forma más concisa, si $f$ es satisfacer $f(x_j)=a_j$ $1 \le j \le n$

$$f(x) = \sum_{j=1}^n \left[ a_j \prod_{i=1}_{i \ne j}^n \frac{x-x_i}{x_j-x_i} \right]$$

Se llama a este método de interpolación de Lagrange.

---

Así que en este caso, su $x_1, x_2, \dots, x_7$ son los números de $0, 1, \dots, 6$ e su $a_1, a_2, \dots, a_7$ son, respectivamente, $2,0,0,0,0,0,1$. Sustituyendo en la fórmula anterior, obtenemos:

$$\begin{align} f(x) &= 2 \times \dfrac{(x-1)(x-2) \dots (x-6)}{(0-1) (0-2) \dots (0-6)} + 0 \times (\text{stuff}) + 1 \times \dfrac{x(x-1) \dots (x-5)}{6(6-1)(6-2) \dots (6-5)}\\ &= 2 \dfrac{(x-1) (x-2) \dots (x-6)}{720} + \dfrac{x(x-1) \dots (x-5)}{720} \\ &= \dfrac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{720} \left[ 2(x-6) + x \right] \\ &= \boxed{\dfrac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)^2(x-5)}{240}} \end{align}$$

Usted puede comprobar fácilmente que este polinomio que satisface los valores en la tabla.

---

De hecho, en este caso en particular, todos los de arriba de la maquinaria no era necesario. Es evidente que $f(x)=0$ al $x=1,2,3,4,5$, y por lo $x-j$ debe dividir $f(x)$$j=1,2,3,4,5$, y así $$f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)g(x)$$ para algunos polinomio $g(x)$. Ya solo estamos preocupados acerca de la $x=0,6$ más allá de esto, es decir, $2$ valores de $x$, sugiere tenemos $2$ libre de parámetros en $g(x)$ y, por tanto, $g(x)=ax+b$ es lineal. Es decir, hemos $$f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(ax+b)$$

Sustituyendo $x=0$$x=6$, respectivamente, da $$\begin{align}2 &= -5! \cdot b \\ 1 &= 5! \cdot (6a+b) \end{align}$$ y la solución al mismo tiempo da $b=-\dfrac{2}{120}$$a = \dfrac{3}{720}$, que (después de la simplificación) se obtiene el resultado deseado.

Answer 2

Obviamente la función que estamos buscando es no lineal, entonces si no queremos dividir a casos y queremos utilizar sólo las operaciones básicas, por lo menos una posibilidad es encontrar los coeficientes de la siguiente polinomio $$f(x)=a_1x^6+a_2x^5+\dots+a_6x+a_7$ $ resolviendo el sistema de sus ecuaciones dadas 7: $$\dots\dots\dots \\f(1)=a_1+a_2+\dots+a_6+a_7=0\\ \dots\dots\dots$ $ entonces si me equivoco, el resultado es: $$f(x)=\frac{x^6}{240}-\frac{19x^5}{240}+\frac{29x^4}{48}-\frac{113x^3}{48}+\frac{587x^2}{120}-\frac{76x}{15}+2$ $

Answer 3

No hay absolutamente nada de malo con el uso de la tabla de valores como la definición de la función $f:\{0,1,2,3,4,5,6\}\to\{0,1,2\}$ (o de una función de $\{0,1,2,3,4,5,6\}\to\mathbb Z$, o algo similar, si desea que; la noción usual de la función en las matemáticas requiere que usted dice que se asigna a $X\to Y$ donde se debe especificar tanto $X$$Y$, pero no hay ninguna necesidad de que todos los valores de $Y$ son en realidad alcanzados por $f$). No hay necesidad para una función dada por una expresión, que es simplemente un método práctico que se utiliza a menudo para evitar la especificación de los valores de $f$ individualmente. Como se puede ver las otras respuestas dadas, se puede inventar muchas expresiones diferentes que, cuando se restringe a los argumentos en $\{0,1,2,3,4,5,6\}$, darle el mismo valor que los de su mesa, pero no son sólo diferentes formas de describir la misma función que define. Y ellos no son más perspicaces de la tabla en su pregunta.

Answer 4

Yo podría así: de hecho, hay una buena manera de volver a escribir la interpolación de Lagrange polinomio, llamado baricéntrico de interpolación de Lagrange, que le permite escribir una expresión para la interpolación polinomial, después de lo cual usted sólo necesita hacer un poco más de simplificaciones para obtener el polinomio real que usted desea. Para el caso de equiespaciados puntos como en el OP ($x_j=x_0+jh,\;j=0,1,\dots,n$) con el correspondiente $f(x_j)$, la forma baricéntrica de la interpolación de Lagrange polinomio se ve muy simple:

$$\frac{\sum\limits_{j=0}^n \frac{(-1)^j}{x-x_j}\binom{n}{j}f(x_j)}{\sum\limits_{j=0}^n \frac{(-1)^j}{x-x_j}\binom{n}{j}}$$

De hecho, para la evaluación numérica fines, puede usar este formulario directamente, con algunos cuidados necesarios al $x$ es igual a un punto de interpolación. (Si $x$ es casi, pero no es igual, un punto de interpolación, el método realiza con una buena precisión; véase el artículo enlazado para una discusión más profunda.)

Para el OP caso, obtenemos, afortunadamente, debido a que la mayoría de las coordenadas es cero, la expresión

$$\frac{\frac2{x}+\frac1{x-6}}{\frac1{x}-\frac6{x-1}+\frac{15}{x-2}-\frac{20}{x-3}+\frac{15}{x-4}-\frac6{x-5}+\frac1{x-6}}$$

o, después de un poco más algebraicas de masaje,

$$\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)}{720}\left(\frac1{x-6}+\frac2{x}\right)=\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)^2(x-5)}{240}$$

---

Para el caso de no equispaced puntos, un poco más trabajo necesita ser hecho; ver el Berrut/Trefethen papel he enlazado más arriba para obtener más detalles.