Supongamos que tengo dos formas cuadráticas en $\mathbb R^n$, representado como matrices simétricas $A$ $B$ en la forma habitual. Estoy interesado en la aproximación de la función de $x \mapsto \max(x^TAx, x^TBx)$, mientras que el restante en el espacio de formas cuadráticas.
Hay una buena manera de definir un "máximo" de la operación sobre matrices simétricas, de tal manera que $C = \max(A,B)$ si $C$ es, en cierto sentido, el "más pequeño" simétrica matriz de satisfacciones $x^TCx \ge x^TAx$ $x^TCx \ge x^TBx$ para todos los vectores $x$?
He intencionalmente dejado de la noción de la "más pequeño" de la matriz $C$ indefinido, como voy a aceptar cualquier formalización que permita su solución elegante expresa y/o fácil de calcular. Una posibilidad es la de minimizar la huella de $C$. Otra, si nos limitamos a positivo semidefinite matrices, es la minimización de una conveniente matriz de la norma.
En cualquier caso, $\max$ sin duda debe ser conmutativa, y debe satisfacer $\max(A,A) = A$. También, si $A$ $B$ comparten los mismos vectores propios, con autovalores $\lambda_i$ $\mu_i$ respectivamente, entonces parece natural que las $\max(A,B)$ también debe tener los vectores propios de la misma, y autovalores $\max(\lambda_i,\mu_i)$. Más allá de eso, realmente no puedo decir.
