¿Cuáles son las reglas para el uso de puntos en lugar de paréntesis en fórmulas lógicas?

Question

¿Cuáles son las reglas de omisión de paréntesis en fórmulas de lógica matemática?

En mi texto, lógica matemática de primer orden de Angelo Margaris ed 1990 de Dover, los paréntesis son omitidos, por ejemplo, en la página 49,

$S$ $\rightarrow$ $.$ $P$ $\rightarrow$ $Q$ $:$$\rightarrow$$:$$S$$\rightarrow$$P$ $.$$\rightarrow$ $.$ $S$$\rightarrow$ $Q$

¿Cuándo deberían ser los paréntesis? ¡¿Cómo puedo traducir estos puntos " ." a los paréntesis correctos?

¿Cuáles son las reglas de esta traducción en general?

Answer 1

"¿Cuáles son las reglas de omisión de paréntesis?" ¡La respuesta es: ¡diferentes reglas en diferentes textos!

Pero lo que realmente se está preguntando es algo diferente, es decir, "¿Cuáles son las reglas para usar puntos en lugar de paréntesis?" [y he editado la pregunta del título para que encaje]. De nuevo, la respuesta es que hay diferentes reglas en diferentes textos. El Libro de Lógica Matemática de Church (1956) es un texto canónico aquí, aunque las reglas de Church son ligeramente diferentes a las de Principia. Hay un conjunto de reglas ligeramente más sencillo, según recuerdo, en el Libro de Lógica Matemática de Robbin (1969). De todos modos, la idea básica compartida para usar puntos se revela en las reglas para deshacerse de ellos nuevamente a favor de los paréntesis:

Un punto/varios puntos inmediatamente a la izquierda de un signo de implicación indica un paréntesis derecho, y su paréntesis izquierdo correspondiente aparecería tan a la izquierda como sea posible antes de encontrar un número mayor de puntos.

De manera simétrica para un punto/varios puntos inmediatamente a la derecha de un signo de implicación: esto indica un paréntesis izquierdo, y su paréntesis derecho correspondiente aparecería tan a la derecha como sea posible antes de encontrar un número mayor de puntos.

Y debemos eliminar los puntos simples antes que los dobles, etc. ¡Uf!

Eso suena complicado, pero en la práctica no es tan malo. Así que considera ...

$$S \to . P \to Q :\to:S \to P .\to. S \to Q$$

$$S \to (P \to Q) :\to:S \to P .\to. S \to Q$$

$$S \to (P \to Q) :\to:(S \to P) \to. S \to Q$$

$$S \to (P \to Q) :\to:(S \to P) \to (S \to Q)$$

$$(S \to (P \to Q)) \to:(S \to P) \to (S \to Q)$$

$$(S \to (P \to Q)) \to ((S \to P) \to (S \to Q))$$

¡Tal vez te preguntes, de hecho, sobre las virtudes de este tipo de sistema de paréntesis! Pero de hecho, si te adhieres a puntos simples y los mezclas con el uso de paréntesis, puede ser sorprendentemente legible. Pero no puedo pensar inmediatamente en ningún libro (primero) publicado en los últimos treinta años que utilice el sistema de puntos: ha caído en desuso.

Answer 2

Creo que esto debería leerse más bien como $$ S.\to.P\to Q:\to:S\to P.\to.S\to Q$$ Si recuerdo correctamente, la cantidad de puntos en tal notación marca la precedencia, por lo tanto esto es $ S.\to.P\to Q$ y $S\to P.\to.S\to Q$ unidos por un $\to$ y de manera similar, $ S.\to.P\to Q$ es $S$ y $P\to Q$ unidos por un $\to$ y $S\to P.\to.S\to Q$ es $S\to P$ y $S\to Q$ unidos por un $\to$. Así que en forma "legible" todo esto se convierte en $$ \bigl(S\to(P\to Q)\bigr)\to\bigl((S\to P)\to(S\to Q)\bigr)$$ Ten en cuenta que la cantidad de puntos se refleja aquí en el tamaño de los paréntesis.