Evaluar $\int ^1 _0 x^2 \, dx$ sin usar el teorema Fundamental del cálculo

Question

Evaluar $\int ^1 _0 x^2 \, dx$ sin usar el teorema Fundamental del cálculo.

Puedo encontrar la suma de Riemann de algunas particiones y puntos del intermedio, ¿qué hago a continuación?

Answer 1

$$\text{As }\lim_{n \to \infty} \frac1n\sum_{r=1}^n f\left(\frac rn\right)=\int_0^1f(x)dx$$

$$\int_0^1x^2dx=\lim_{n\to\infty} \frac1n\sum_{r=1}^n \frac{r^2}{n^2}=\lim_{n\to\infty} \frac1{n^3}\sum_{r=1}^nr^2$$

$$\text{Now }\sum_{r=1}^nr^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$$

Así, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac16\right)\left(1+\frac1n\right)\left(2+\frac1n\right)=\frac13$

Answer 2

Una linda manera de hacerlo evitando las sumas de cuadrados es el uso de una progresión geométrica. (El mismo método puede ser fácilmente adaptado a $\int_0^1 x^n\,dx$ para otras opciones de $n$ sin tener que cocinar fórmulas para $\sum k^n$.)

Por la teoría general, $x \mapsto x^2$ es Riemann integrable, por lo que podemos calcular la integral como límite de cualquier suma de Riemann, mientras el "tamaño de la partición" tiende a $0$.

Fijar un número entero $n$ y elija los puntos $x_j = \dfrac{r^j}{n}$ ($0 \le j \le n$) donde $r > 0$ es elegido de manera que $r^n = n$.

Luego de la correspondiente suma de Riemann es \begin{align} \sum_{j=0}^{n-1} f(x_j)(x_{j+1}-x_{j}) &= \sum_{j=0}^{n-1} \frac{r^{2j}}{n^2}\left( \dfrac{r^{j+1}}{n} - \dfrac{r^{j}}{n} \right) \\ &= \frac{1}{n^3}\sum_{j=0}^{n-1} (r^{3j+1}-r^{3j}) \\ &= \frac{1}{n^3} \cdot \frac{r^{3n+1}-r^{3n}-r+1}{r^3-1} \\ &= \frac{1}{n^3} \cdot \frac{(n^3-1)(n^{1/n}-1)}{n^{3/n}-1}. \end{align}

Lo voy a dejar como un ejercicio para comprobar que esto tiende a $\dfrac13$$n\to\infty$.