Determinante no negativo de una matriz simétrica

Question

Consideremos la siguiente matriz con entradas no negativas: $$ M=\begin{pmatrix} a & b & c & d \\ b & c & d & e \\ c & d & e & f \\ d & e & f & g \\ \end{pmatrix}. $$

¿Podemos demostrar que, si cada menor $2\times 2$ tiene un determinante no negativo, entonces el determinante de $M$ no es negativo?

Answer 1

Hoy en día, los experimentos informáticos son baratos. ¿Por qué no generaste algunas matrices aleatorias para ver si tu hipótesis se apoya en la evidencia numérica? De todos modos, aquí hay un contraejemplo: $$ M = \pmatrix{ 6&4&3&3\\ 4&3&3&3\\ 3&3&3&5\\ 3&3&5&9}. $$ Todo $2\times2$ menores de $M$ son no negativos, pero $\det M = -14 <0$ .