Factores irreducibles $x^q-x-a$ $\mathbb{F}_p$.

Question

Si $\mathbb{F}_q$ es un campo finito con elementos de $q=p^m$de % que $p$ es primo, si $a\in\mathbb{F}_p^\times$, ¿cuáles es los factores irreducibles de $f_a=x^q-x-a$?

Intento: Si $\alpha$ es una raíz de $f_a$ $\alpha+b$ es una raíz de $f_a$ cada $b\in\mathbb{F}_q$. Si $m=1$ muestro que $f_a$ es irreducible.

Answer 1

Deje $\alpha\in\overline{\Bbb{F}}_p$ ser una raíz de $f_a$. Queremos encontrar el polinomio mínimo de a $\alpha$. Para ello tenemos que averiguar cómo muchos de los conjugados $\alpha$$\overline{\Bbb{F}}_p$. Como $\alpha$ es un cero de $f_a$ $$ \alpha^q=\alpha+a,\ \alpha^{p^2}=\alpha^q+a^q=\alpha+2a,\ \alpha^{q^3}=\alpha+3a $$ et cetera. Por lo tanto,$\alpha^{q^p}=\alpha+pa=\alpha$. Esto ya nos dice que $\alpha$ tiene exactamente $p$ conjugados más, y que su polinomio mínimo de más de $\Bbb{F}_q$ es $$ m_{\alpha, q}=\prod_{j=0}^{p-1}(x-\alpha-ja). $$ Se sabe que $P(x):=x^p-x=\prod_{j=0}^{p-1}(x-j)$, por lo que $$ x^p^{p-1}x=a^pP(\frac xa)=\prod_{j=0}^{p-1}(x-ja). $$ Por lo tanto $$ m_{\alpha, q}(x)=(x-\alpha)^p-^{p-1}(x-\alpha)=x^p^{p-1}x-(\alpha^p^{p-1}\alpha)=x^p-x-P(\alpha), $$ debido a $a^{p-1}=1$ a Poco de Fermat. Así, en $\Bbb{F}_q$ el polinomio $f_a(x)$ se divide en un producto de $p^{m-1}$ factores de grado $p$. Como el derivado $f'_a(x)=1$ es coprime a $f_a$, los factores son distintos, por lo que el término constante $P(\alpha)$ es de $p^{m-1}$ valores distintos. A continuación podemos identificar el conjunto de esos valores. Para ello recordemos la definición de la función de trazado de$\Bbb{F}_q$$\Bbb{F}_p$: $$ tr(z)=z+z^p+z^{p^2}+\cdots+z^{p^{m-1}}=\sum_{j=0}^{m-1}z^{p^j}. $$ Traza un surjective función lineal en $\Bbb{F}_p$. Por lo tanto se toma todos los valores en el primer campo exactamente $p^{m-1}$ veces. Pero $$ tr(P(\alpha))=\sum_{j=0}^{m-1}P(\alpha)^{p^j}=\sum_{j=0}^{m-1}(\alpha^{p^{j+1}}-\alpha^{p^j})=\alpha^{p^m}-\alpha=a, $$ porque la suma de los telescopios. Por lo tanto, tenemos la factorización $$ f_a(x)=\prod_{z\in\Bbb{F}_q, tr(z)=a}(x^p-x-z) $$ en el ring $\Bbb{F}_q[x]$.

Más de $\Bbb{F}_p$ el panorama es más complicado. La pregunta es cómo esos factores se combinan para formar polinomios irreducibles en $\Bbb{F}_p[x]$.

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Edición rápida de explicar lo que creo que sucede sobre el pequeño campo. Estoy bastante seguro de que esto es correcto, pero no tengo el tiempo para llenar todo ahora mismo.

Anteriormente vimos que más de $\Bbb{F}_q$ los factores de la forma $x^p-x-z$ tal que $z\in\Bbb{F}_q$ satisface la traza de la condición de $tr(z)=a$. Para obtener los factores irreducibles en $\Bbb{F}_p[x]$ simplemente necesitamos multiplicar los conjugados de los factores de este tipo. Así que si los conjugados de la $z$ $z$, $z^p$, $z^{p^2}$, $\ldots$, $z^{p^{k-1}}$ (,$z^{p^k}=z$), a continuación,$k\mid m$, y el polinomio mínimo de a $z$ es $$ m_z(x)=(x-z)(x-z^p)\cdots(x-z^{p^{k-1}})\in\Bbb{F}_p[x]. $$ Ahora el factor correspondiente de $f_a(x)$ es un producto similar de los factores $(x^p-x-z^{p^i})$, $i=0,1,\ldots,k-1.$ Este producto claramente es igual a $m_z(x^p-x)$. Por lo tanto la factorización de $f_a(x)$ en el ring $\Bbb{F}_p[x]$ es $$ f_a(x)=\prod_{z\in D}m_z(x^p-x), $$ donde $D$ es un conjunto de representantes de Galois conjugacy clases de elementos de $\Bbb{F}_q$ con la propiedad $tr(z)=a$.

Ejemplo: Vamos a $p=2$, $m=3$, $a=1$, por lo $f_a(x)=f_1(x)=x^8-x-1$. En el campo de $\Bbb{F}_8$ hay cuatro elementos traza $=1$. Es decir, $z_1=1$ y las tres raíces ($z_2,z_3,z_4$)del polinomio irreducible $x^3+x^2+1\in\Bbb{F}_2[x]$. Los respectivos mínimos polinomios son lo $m_1(x)=x+1$ y $m_2(x)=x^3+x^2+1$. Por lo tanto, la teoría anterior da la factorización $$ f_1(x)=x^8+x+1=m_1(x^2+x)m_2(x^2+x)=(x^2+x+1)(x^6+x^5+x^3+x^2+1), $$ que comprueba.