Encuentra el residuo de $f(z)$
$$f(z) = \frac{z^{(1/4)}}{z+1}$$
Así que este es un polo de orden 1 con una singularidad en $z=-1$
$$z^{1/4}\Big|_{-1}\ = (-1)^{1/4}$$
Y no estoy seguro de qué hacer con eso. El libro dice que la respuesta es $\frac{1+i}{\sqrt2}$
El libro no está siendo justo porque no le dio suficiente información para resolver el problema. Tienes una función multivaluada. ¿Cuál es el corte de rama? Si el corte de rama es el eje real negativo, entonces $\arg{z} \in (-\pi,\pi)$ y necesitas saber en qué lado del corte de la rama te encuentras. Por un lado, si estás justo encima del corte de la rama, entonces $-1=e^{+i \pi}$ y la respuesta del libro es correcta. Por otro lado, si está justo debajo del corte de la rama, la $-1=e^{-i \pi}$ y la respuesta es en cambio $\frac{1-i}{\sqrt{2}}$ .
Si el corte de la rama se realiza en otro lugar, entonces $\arg{z}=+\pi$ y la respuesta del libro es correcta.
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Observe que $-1 = e^{i}$
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Así que $(-1)^{1/4} = (e^{i\pi})^{1/4} = e^{i\pi/4} = cos(\frac{\pi}{4}) + i sin(\frac{\pi}{4})$ ? @kaynex
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@Bellatrix1106 Sí. ¿Qué son $\cos(\pi/4)$ y $\sin(\pi/4)$ ?
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Sí. Sin embargo, también es cierto que $-1 = e^{3i}$ que da un valor diferente. ¿Alguien puede explicar por qué no utilizaría esto?
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$ = \frac{\sqrt2}{2} + \frac{i\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt2 (1+i)}{2} = \frac{1+i}{\sqrt2}$ @Mattos Gracias
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El libro también dice en la respuesta $|z|>0,\ 0<arg\ z<2\pi$ así que supongo que tiene algo que ver con el argumento? @Kaynex
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Supongo que tiene que ver con el corte de la rama del logaritmo principal.