Qué hace $0^0$ indeterminado. Aquí está un video de numberphile que no existe que $z^z$ $z \to 0$ donde $z \in \mathbb C $. He probado intentado $\lim_{x \to 0}(x+ix)^{(x+ix)}$ y sustituye $x$ $-x$ y par de trucos Limit[(x + I x^2)^(x + I x^2), x -> 0] en Mathematica pero me estoy poniendo $1$. ¿Malinterpretan lo que es intentado para ser mostrado en este video?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Responder, en su lugar, su primera pregunta: ¿Qué hace $0^0$ indeterminado?
Esto no es sólo una cuestión de $$ \lim_{x \to 0} x^x = ? \etiqueta{1} $$ pero, más generalmente, de $$ \lim_{t \a} f(t)^{g(t)} = ? \qquad\text{donde } \lim_{t \a} f(t) = 0\text{ y } \lim_{t\a}g(t) = 0. \etiqueta{2}$$ Decimos "$0^0$ es indeterminado" para significar que la respuesta en (2) puede variar, dependiendo de las $f$$g$.
Por ejemplo, si $$ f(t) := e^{-(\log 2)/|t|},\qquad g(t) := |t|, $$ entonces $$ \lim_{t \to 0} f(t) = 0,\qquad \lim_{t\to 0}g(t) = 0,\qquad \lim_{t\to 0} f(t)^{g(t)} = \frac{1}{2} . $$ Usted probablemente puede hacer cambios menores en esto para obtener otros resultados en lugar de $1/2$.
ray247
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No estoy de acuerdo.
La sutileza es $z^{z}$ es un multi-valores de la función compleja. Si es $x^{x}$, entonces es fácil encontrar el límite por $e^{x\log[x]}$, y sabemos $\lim_{x\rightarrow 0}x\log[x]=\frac{1/x}{-1/x^{2}}=-x=0$(repita el uso de la regla de L'Hospital de aquí). Así se puede concluir $x^{x}\rightarrow 1$.
En el caso complejo, la misma estrategia podría dar complicaciones, debido a que $\log[z]=\log[|z|]+irad(z)+2\pi ni$. Esto es porque si dejamos $z=re^{i\theta}$, luego tenemos a $\log[z]=\log[r]+i\theta+2\pi n i$. Así que hemos complicación adicional destellos de $z* rad(z)$ o $re^{i\theta}*i\theta$. Claramente al $r\rightarrow 0$ esto va a$0$. Así que podemos concluir de $e^{z\log[z]}$ va a 1 como hicimos anteriormente.
