Aproximar una función mediante otra función

Question

Problema
Encontrar la mejor aproximación de las $f(t)=t^2$ $h(t)=ae^t+be^{2t}+c$ en todas partes en el intervalo de $[0,4]$.

Intento
Yo sé cómo resolver este problema debido a los puntos de muestreo, mediante el uso de mínimos cuadrados, pero estoy teniendo un tiempo difícil averiguar cómo de instalación este problema. Sé que necesito para usar el producto interior, $\int_0^4f(t)h(t)dt$. El problema que estoy teniendo es con poner este problema en forma de $Ax=b$. Normalmente me iba a construir la matriz de Gram de usar el producto interior y vectores de la base, pero no hay vectores de la base.

¿Cómo debo proceder con la configuración?

Answer 1

Se le pide a la aproximación de $f$ por funciones en la forma de $h$, por lo que son ya tres bases "vectores" $e^t, e^{2t}$ $1$ en la función de espacio dotado con un producto interior $\langle p,q\rangle = \int_0^4 p(t)q(t)dt$. Desde $1, e^t, e^{2t}$ no forman una base ortonormales, se debe aplicar primero la de Gram-Schmidt proceso para encontrar una base ortonormales $\{g_1,g_2,g_3\}$ para la función de espacio atravesado por $1, e^t, e^{2t}$. Luego de la necesaria aproximación es sólo la proyección de $f$ a $\operatorname{span}\{g_1,g_2,g_3\}$, es decir,$\langle f,g_1\rangle g_1+\langle f,g_2\rangle g_2+\langle f,g_3\rangle g_3$.