secuencia exacta

Question

Este es el Ejercicio 5.3 de Álgebra: Capítulo 0.

Dada una serie normal de los subgrupos \begin{equation}G=G_0\supset G_1\supset G_2\supset\cdots\supset G_r=\{e\}, \end{equation} construir una secuencia exacta de los grupos a través de $\{e\}, G$ $H_j=G_j/G_{j+1}$ a conectar $\{e\}$$G$.

No estoy seguro de lo que el autor está pidiendo. A partir de $\{e\}$, creo que la única secuencia natural que involucran sólo a $\{e\}, H_j$ $G$ es de la forma \begin{equation} \{e\}\longrightarrow G_{r-1}/G_{r}\longrightarrow G_{r-2}/G_{r-1}\longrightarrow\cdots. \end{equation} sin Embargo, esto no es exacto.

Alguien puede dar una pista? Gracias!

Answer 1

Usted lee mal el ejercicio. Dice

Mostrar cómo a 'conectar' $\{e\}$ $G$mediante $r$ exacto de las secuencias de los grupos, la participación de sólo $\{e\}$, $G$ y los cocientes $H_i = G_i/G_{i+1}$.

Para que no se supone que para encontrar una sola secuencia exacta de conectar $\{e\}$ $G$sino $r$ separados. Pienso que el ejercicio en que se forman todavía contiene un error y debe leer "la participación de sólo $\{e\}$, $G_i$ y los cocientes $H_i = G_i/G_{i+1}$". Entonces usted puede tomar (escrito $1$$\{e\}$) \begin{matrix} 1 & \to & G_1 & \to & G & \to & H_0 & \to & 1,\\ 1 & \to & G_2 & \to & G_1 & \to & H_1 & \to & 1,\\ & & & & \vdots & & & & \\ 1 & \to & G_{r-1} & \to & G_{r-2} & \to & H_{r-2} & \to & 1,\\ 1 & \to & 1 & \to & G_{r-1} & \to & H_{r-1} & \to & 1. \end{de la matriz}