La historia de casi todos los libros de introducción al Cálculo es bien conocida por todos: no se tiene el "derecho" de elevar un número a una potencia irracional, así que olvídate de los exponentes por ahora y veamos $y=x^{-1}$ . Cómo impar, la inocente fórmula de la antiderivada de una función de potencia se rompe pero caramba debe tiene una antiderivada, ¡es suave! Examinemos sus propiedades...
...y al final, Rosebud era su trineo, no, espera, la misteriosa antiderivada resulta tener una inversa que corresponde exactamente al concepto de exponentes de la escuela elemental, ¡sólo que también funciona para exponentes irracionales! ¡El héroe gana! El final.
Pero, ¿y si empezamos por el extremo opuesto? Empezamos con la inocente función exponencial, sólo definida para los racionales (hasta ahora) $y=k^x$ , $k>0$ y si $x_0$ es irracional, demuestre que, como $x$ (sin dejar de ser racionales) se acerca $x_0$ , $k^x$ se acerca a algún número real específico. Definir que dicho número es $k^{x_0}$ .
Y a partir de ahí, demostrar que nuestro ¡Nuevo! ¡Mejorado! $k^x$ es continua, tiene una derivada que también es exponencial, que hay alguna $k=e$ para el que la exponencial es su propia derivada, que la inversa de $e^x$ tiene $x^{-1}$ como su derivado, etc...
¿Conoces algún texto de Cálculo que adopte ese enfoque?
