Demostrar que existen números racionales $x$ tal que $\sqrt{x + 2016}$ y $\sqrt{x + 2017}$ también son racionales

Question

Necesito saber si mi solución es correcta. Aquí está cómo lo hice:

Sustituyendo $x + 2016$ $t$, nuestro problema se reduce a probar que existe $t \in \mathbb{Q}$ tal que $\sqrt t$ y $\sqrt {t + 1}$ son números racionales.

Que $t = \frac{m^2}{n^2}$, donde $m, n \in \mathbb{Z}$. Poniendo esto en $t + 1$, obtenemos $t + 1 = \frac{m^2 + n^2}{n^2}$.

Por saber que $m^2 + n^2 = p^2$, donde $m, n, p \in \mathbb{Z}$ tiene infinitas soluciones, hemos terminado.

Answer 1

Es la prueba correcta. Pero es de mínima prueba correcta (x =-2016)

Answer 2

Sí, esto es correcto: $\displaystyle t:=(\frac{m}{n})^2$ => $\displaystyle t+1:=\frac{m^2+n^2}{n^2}$.

Pero entonces por ejemplo $m:=a^2-b^2$ y $n:=2ab$ para que usted obtenga

$\displaystyle t=(\frac{a^2-b^2}{2ab})^2$ y $\enspace\displaystyle t+1=(\frac{a^2+b^2}{2ab})^2$.

Un ejemplo positivo $x$:

$a:=90$ , $b:=1\enspace$ => $\enspace\displaystyle x=\frac{275401}{180^2}$

$\enspace\displaystyle \sqrt{x+2016}=\frac{8099}{180}\enspace$ y $\enspace\displaystyle \sqrt{x+2017}=\frac{8101}{180}$