¿Es la acción de $\mathbb Z$ $\mathbb R$ por la traducción de la tal acción?

Question

Es bien sabido que$\mathbb Z$ actúa sobre$\mathbb R$ por traducción. Eso es por$n\cdot r=n+r$. El espacio de cociente de esta acción es$S^1$.

¿Podría alguien darme un ejemplo donde$\mathbb Z$ actúa en$\mathbb R$ de alguna otra manera (no trivial) para dar (posiblemente) algún otro cociente? Sólo me interesan las acciones continuas.

Específicamente, ¿existe una acción tal que el cociente sea un intervalo cerrado?

Gracias.

Answer 1

Debido a $\Bbb Z$ es cíclica, eres, equivalentemente, de la pregunta "¿cuáles son las clases conjugacy de elementos de $\text{Homeo}(\Bbb R)$?" (Es: ¿cuáles son los topológicamente distintos sistemas dinámicos discretos en $\Bbb R$?")

Hay un buen montón. He aquí un ejemplo tonto no se da en la otra respuesta: elija un homeomorphism $\varphi: \Bbb R \to (-1,1)$. Definir un homeomorphism $\psi: \Bbb R \to \Bbb R$: $\psi(x) = x$$|x| \geq 1$; y $\psi(x) = \varphi(\varphi^{-1}(x)+1)$ al $|x| < 1$. A continuación, el cociente de $\Bbb R$ el marco de esta acción no es ni $T_1$, ya que el $1$ es arbitrariamente cerca de la órbita de 0, pero no se identifica con ella.

También se podría establecer las cosas de modo que, por ejemplo, tiene un conjunto de Cantor de puntos fijos.

Un buen estudio de los resultados de estas clases conjugacy está aquí.

Answer 2

Recordemos que una acción continua de $\Bbb{Z}$ $\Bbb{R}$ se compone de un grupo de morfismos $\Bbb{Z} \to \operatorname{Aut}(\Bbb{R})$ donde $\operatorname{Aut}(\Bbb{R})$ denota el grupo de homeomorphisms de $\Bbb{R}$ dentro de sí mismo.

Ahora, $\Bbb{Z}$ es cíclica, por lo tanto, cualquier morfismos $\mu:\Bbb{Z} \to \operatorname{Aut}(\Bbb{R})$ está determinada únicamente por $\mu(1)$. Por lo tanto, si usted arreglar cualquier homeomorphism $f \in \operatorname{Aut}(\Bbb{R})$, obtendrá la acción $$n \cdot x = f^n(x)$$ donde $f^n$ $n$a afirmar mapa de $f(f( \dots))$ ( $n < 0$ $(f^{-1})^{-n}$).

Ahora, vamos a ver algunos ejemplos:

$f(x)=x+1$ conduce a la acción en su pregunta.

$f(x)=x$ conduce a la trivial acción.

$f(x)=-x$ conduce a la acción $n \cdot r = (-1)^nr$, cuyo cociente es $\Bbb{R}_{\ge 0}$.

Answer 3

Desea continua actiones, es decir, para cada una de las $n\in\Bbb Z$, el mapa de $f_n\colon r\mapsto n\cdot r$ debe ser continua. Tenga en cuenta que la acción está completamente determinada por $f_1$ y $f_1$ tiene un inverso $f_{-1}$ que es también continua. En otras palabras: $f_1$ es un homeomorphism. Como tal, puede ser la orientación de la preservación (es decir, estrictamente creciente) o no (es decir, estrictamente decreciente).

Considere primero el caso anterior y deje $F\subseteq \Bbb R$ el conjunto de fixedpoints de $f_1$. Como $F$ es un subconjunto cerrado de $\Bbb R$, su complemento es abierto, por lo tanto es distinto de la unión de countably muchas intervalos de $(a,b)$ (con infinito termina permitido). Cada uno de esos $(a,b)$ es no sólo homeomórficos a $\Bbb R$, pero en realidad es de una manera tkat convierte la acción de la $\Bbb Z$ $(a,b)$ en el estándar de la acción de $\Bbb Z$$\Bbb R$. Para ver este pick $x_0\in (a,b)$, vamos a $x_1=f_1(x_0)$. Empezamos a definir nuestro homeomorphism $\phi\colon (a,b)\to\Bbb R$ mediante el establecimiento $f(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}$$x\in[x_0,x_1]$. Después de que, por cualquier $x\in (a,b)$ nos encontramos con $n\in \Bbb Z$ $f_1^{\circ n}(x)\in[x_0,x_1)$ y $\phi(x)=\phi(f_1^{\circ n}(x))-n$.

Vemos que cada una de las inter-punto fijo intervalo de $(a,b)$ entre contribuye una copia de $S^1$ para el cociente de espacio. El fixpoints $x\in F$ a sí mismos "sobrevivir" la transición a la proporción de espacio. Parece que tenemos un discontinuo de la unión de $F$ (con la topología de subespacio) y un par de copias de $S^1$, pero tenemos que ser un poco cuidadoso con el cociente de la topología: Si $a\in F$ es un límite punto de $(a,b)$ (y/o $(c,a)$), a continuación, abrir cualquier barrio de en $\Bbb R$ contiene suficiente de al lado intervalo abierto(s) para cubrir una "ronda completa" de la correspondiente $S^1$. En otras palabras, en el cociente del espacio, cada abierto barrio de $a$ contiene uno o dos adyacentes $S^1$'s.

Ahora, volviendo al principio - ¿qué pasa si $f_1$ es estrictamente decreciente? En ese caso, la acción de $2\Bbb Z$ es de la clase descrita anteriormente, y la acción completa de $\Bbb Z$ intruduces algunos pares de identificación: El único punto fijo $z$ $f_1$ es también un punto fijo de $f_2$ (por lo que no dentro de una de las $S^1$). Las copias de $S^1$ se identifican en pares (que todavía los hace $S^1$'s), componentes de $F$ que no contengan $z$ también son identificados en pares, sólo el componente de $F$ contiene $z$ se pega de manera similar a $[-a,a]\to [0,a]$, $x\mapsto |x|$; sin embargo, si $z$ es un punto aislado de a $F$, a continuación, como por encima de las dos adyacentes $S^1$ se identifican con el extraño efecto que la única barrios de $z$ esto $S^1$ contiene todos los de $S^1$