¿Prueba de congruencia SSS?

Question

Estoy esperando que alguien puede proporcionar un método para deducir el conocido postulado de la congruencia SSS? El postulado de los estados

Si los tres lados de un triángulo son pares congruentes con los tres lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos deben ser congruentes.

Yo soy de una escuela secundaria profesor de matemáticas (enseñanza de una HS curso de Geometría) y me gustaría ser capaz de explicar/justificar el triángulo de la congruencia de los teoremas que espero que a los estudiantes para aplicar con más claridad. Entiendo que la Ley de los Cosenos podría ser utilizado para justificar el SSS triángulo teorema de congruencia, pero me pregunto si una prueba se puede utilizar más propiedades básicas. Mis alumnos están aprendiendo los teoremas de congruencia y el uso de construcciones para justificar su validez. Conozco dos maneras de demostrar la validez de la congruencia SSS: construcciones y de la Ley de los Cosenos. Hay otra manera?

He investigado y no he visto otra respuesta hasta el momento. La Ley de los Cosenos es el aceptado la respuesta a la Prueba de ASA , SAS , RHS , SSS teorema de congruencia. También he visto algunas otras preguntas que se insinuaba en esto sin una respuesta clara, a ver: ¿por Qué es SSS, el criterio de congruencia de triángulos que se refiere como "SSS postulado" en los libros de texto?. Otra pregunta acerca de las matemáticas.SE pregunta qué estoy haciendo (¿cómo podemos obtener el triángulo de los postulados de la congruencia de axiomas básicos?) Necesidad de triángulo axiomas de congruencia y la aceptación de respuesta sugiere sólo una rápida visita a http://en.wikipedia.org/wiki/Taxicab_geometry pero no discutir o no si el triángulo de la congruencia axiomas seguir a partir de los axiomas básicos o son independientes de ellos.

Answer 1

Cortar el Nudo de la SSS prueba de la página tiene un número de soluciones, incluyendo la de Euclides. Como el autor indica, sin embargo, sólo Hadamard de la prueba "atraviesa sin problemas", con la importante aparte: "asumiendo que los triángulos isósceles han sido bastante tratado previamente".

Te voy a dar un pleno desarrollo de Hadamard del argumento, incluyendo los bits necesarios acerca de los triángulos isósceles. Puedo incluir un par de "obvio" sub-pruebas sólo para dejar en claro que son los axiomas en el juego.

Preliminares:

1. SAS triángulo de la congruencia es un axioma.
2. (1) implica una dirección de el Teorema del Triángulo Isósceles, es decir: Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes. $[\star]$
3. (2) implica que Un punto equidistante de distintos puntos de $P$ $Q$ se encuentra en la bisectriz perpendicular de la $\overline{PQ}$. $[\star\star]$

Ahora, vamos a cortar la parte de Hadamard del argumento donde tenemos $\triangle ABC$ $\triangle A^\prime BC$ con los correspondientes bordes congruentes, construido con $A$ $A^\prime$ en el mismo lado de la $\overleftrightarrow{BC}$. (Esa última parte es la clave.) Sólo necesitamos mostrar que $A$ $A^\prime$ coinciden en demostrar SSS. Hadamard hace que este argumento por contradicción ...

1. Suponga $A \neq A^\prime$.
2. $B$ es equidistante de a$A$$A^\prime$, y por lo tanto, $B$ se encuentra en la bisectriz perpendicular de $\overline{AA^\prime}$ (3) de arriba. Lo mismo es cierto de $C$.
3. Por lo tanto, $\overleftrightarrow{BC}$ es la mediatriz de $\overline{AA^\prime}$.
4. Por lo tanto, $\overleftrightarrow{BC}$ separa $A$ $A^\prime$.
5. Esto contradice el hecho de que hemos construido $A$ $A^\prime$ a estar en el mismo lado de $\overleftrightarrow{BC^\prime}$. $[\star\star\star]$
6. Por lo tanto, la suposición de que $A \neq A^\prime$ debe ser nula, por lo que los triángulos $\triangle ABC$ $\triangle A^\prime BC$ coinciden; esto nos da SSS. $\square$

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$[\star]$ Prueba: Isósceles $\triangle ABC$ con base $\overline{BC}$ es congruente a $\triangle ACB$ por SAS, y los ángulos opuestos son los correspondientes ángulos de los triángulos congruentes.

$[\star\star]$ El punto medio, $M$ $\overline{PQ}$ es, sin duda, en la bisectriz perpendicular. Un punto de $R \neq M$ equidistante de $P$ $Q$ crea isósceles $\triangle RPQ$ con ángulos congruentes en $P$ $Q$ (2). Por lo tanto, $\triangle RPM \cong \triangle RQM$ por SAS. Ángulos correspondientes $\angle RMP$ $\angle RMQ$ deben ser congruentes; como suplementos, que debe ser el correcto. $\overleftrightarrow{MR}$, entonces, es la mediatriz de $\overline{PQ}$. (Voy a notar que una más fácil la prueba podría afirmar que, desde el principio, $\triangle RPM \cong RQM$ por SSS ... pero nosotros no podemos utilizar ese argumento en una prueba de SSS).

$[\star\star\star]$ Aquí la contradicción es uno de Euclides los descuidos más tarde se hizo explícita por Hilbert como el Plano de Separación de Axioma. El PSA tiene ligeramente diferentes formulaciones en los diferentes tratamientos geométrico de las fundaciones, pero efectivamente es el "Porque yo lo digo!" afirmación de que las líneas de ruptura de planos en dos separe "lados" y nos da nuestra contradicción.

Answer 2

Asumir los triángulos son de $ABC$ $A'B'C'$ con lados de $a,b,c$, e $a',b',c'$. Primer movimiento de vértice $A$ hasta el vértice $A'$ (siempre que sea posible). A continuación, gire para hacer coincidir los lados $b$ $b'$ (posible, por supuesto). Los lados $a$ $a'$ ahora parte de un mismo punto y son iguales. Por lo tanto, son los radios de un círculo con centro en $C=C'$. Algo similar ocurre con los lados $c$$c'$, pero con el centro en $A=A'$. Estos círculos se intersectan en$B$$B'$.

La aplicación de la simetría con respecto al lado de la $b$ podemos asumir los puntos de $B$ $B'$ están en el mismo lado de la línea de $b$. Los círculos son simétricas con respecto a la línea de $b$. Si $B$ no coincide con $B'$. A continuación, los círculos se intersectan también en otros dos puntos en el otro lado de la línea de $b$. Esto es una contradicción, porque los círculos no pueden cruzarse en cuatro puntos.

Se preguntaba acerca de los taxis de la geometría. Supongamos que tenemos un segmento que está en diagonal con respecto a la cuadrícula" en el Taxi plano (recordar que en el taxi que la geometría de la primera revisión de dos ejes para medir las distancias así, diagonal significa diagonal con respecto a estos ejes). Ahora considere la mitad de la longitud de este segmento. Hay infinitamente muchos triángulos isósceles, con base en el segmento y con lados iguales a la mitad de este segmento. La razón es que los círculos con centros en el punto final de la diagonal segmento y el radio de la mitad de su longitud, contienen tanto un segmento entero de la mediatriz del segmento. La imagen es de dos plazas como esta (http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/de/TaxicabGeometryCircle.svg) que comparten un lado y el segmento si el uno de incorporarse a sus centros. Estas plazas son círculos en el Rol de la geometría. El artículo de la Wikipedia sobre el rol de la geometría menciona el rol de la geometría satisface todos Hilbert axioma, excepto el de la congruencia SAS.