¿Si $A$ tiene una solución única para un $Ax = b$ $b$ es una matriz cuadrada, es $A$ necesariamente inversible?

Question

Que $A$ ser una matriz cuadrada. Suponga que $A x = b$ tiene una solución única para un $b$. ¿Es necesariamente inversible $A$?

Le dije que no porque el teorema de matriz inversible dice que $A x = b$ tiene una solución única para cada $b$. Es esto correcto o no el texto no hace una diferencia?

Answer 1

Sí. Que $x$ sea la única solución de $Ax=b$. Si $y$ es una solución de distinto de cero de $Ay=0$ y $A(y+x)=b$ y $y+x\neq x$, una contradicción.

Answer 2

Uno tiene "$Ax=b$ tiene una única solución" $\implies$ "$Ax=0$ ha $x=0$ como única solución" $\equiv$ "$\ker(A)=\{0\}$" $\implies$ "el lineal mapa definido por $A$ es inyectiva" $\implies$ "el lineal mapa definido por $A$ es bijective" $\implies$ "$A$ es invertible" $\implies$ "para todos los vectores $v$, $Ax=v$ tiene una única solución" $\implies$" $Ax=b$ tiene una única solución". Desde esta cadena termina donde comenzó, todas las declaraciones que contiene son equivalentes.

Tenga en cuenta que la única duro implicación en la cadena es "lineal mapa definido por $A$ es inyectiva" $\implies$ "el lineal mapa definido por $A$ es bijective", que utiliza el hecho de que el mencionado lineal mapa de los espacios de la igualdad de dimensión finita en la salida y en la llegada. Esto sugiere que la equivalencia establecida puede fallar en dimensión infinita, que de hecho lo hace. En dimensión infinita, una ecuación lineal cuyo lado izquierdo es administrado por un operador lineal sobre el espacio (que corresponde a "la plaza" para un finito ecuación de matriz) puede tener una solución única para un cierto valor de su mano derecha, pero no es una solución, para otros valores. Por ejemplo, en el espacio vectorial de los polinomios, la ecuación de $(X-1)P=X^4-X$ es lineal en el desconocido polinomio $P$ (los poderes si $X$ se acaba de arreglar los vectores de aquí), y tiene una solución única, es decir,$P=X^3+X^2+X$, pero la ecuación de $(X-1)P=X^3-2$ con la misma mano izquierda no tiene soluciones (y el lineal mapa es, por tanto, no es invertible). Así que usted tenía derecho a la pregunta de si esta equivalencia tiene en realidad, pero en el finito (dimensiones) de la matriz caso se hace.

Answer 3

Sugerencia Quizás es más fácil ver la contrapositive aquí: Supongamos que $A$ no es invertible, de modo que hay un elemento distinto de cero $x_0 \in \ker A$. ¿Dada una solución $A x = b$, podemos utilizar $x_0$ para construir otro?