¿$e$ Implica una figura geométrica de cualquier manera?

Question

Veamos algunos números populares en matemáticas: $\pi$, $e$, $\sqrt{2}$ y $\phi$. El número de $\pi$ es la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo; $\sqrt{2}$ es la longitud de la diagonal de una unidad cuadrada, $\phi$ es la longitud de la diagonal de una unidad regular del pentágono. Parece como $e$ no es una parte de cualquier razonablemente familiarizado forma geométrica.

Es esto realmente así? Por 'familiar figura geométrica' me refiero a una figura geométrica $F$ que no ha sido artificialmente construido de modo que el $e$ es de alguna manera una parte de ella. Por "parte" aquí me refiero a la relación de algo en $F$ y algo más en $F$, la longitud de algo en $F$, el área de $F$, tal vez su perímetro, etc.

Answer 1

Considere la gráfica de la funcion $f(x) = a^x$, $a > 0$. Bueno, $f(0) = 1$ de cualquier manera, pero queremos más. Mirando la línea tangente a la gráfica en el punto $(0,1)$, ¿cuál es el % base $a$tales que la inclinación de la línea de $1$? Esto sucede sólo cuando $a = e = 2,718281828459045\ldots$. Analíticamente, esto se traduce en $f'(x) = a^x \ln a$ y $f'(0) = 1$, desde $\ln e = 1$. Espero que esto ayude.