Encuentre todos $z$ tal que $e^z=6i$

Question

¿Estoy en el camino correcto para resolver esto?

$$e^z=6i$$ Dejemos que $w=e^z$

Así,

$$w=6i$$ $$e^w=e^{6i}$$ $$e^w=\cos(6)+i\sin(6)$$ $$\ln(e^w)=\ln(\cos(6)+i\sin(6))$$ $$w=\ln(\cos(6)+i\sin(6))$$ $$e^z=\ln(\cos(6)+i\sin(6))$$ $$\ln(e^z)=\ln(\ln(\cos(6)+i\sin(6)))$$ $$z=\ln(\ln(\cos(6)+i\sin(6)))$$

Tenía otro método que empezaba tomando el logaritmo natural de ambos lados de inmediato, pero eso lleva a $\arctan(6/0)$ , que es indefinido...

Answer 1

$e^z=6i$ .

Dejemos que $z=x+iy$ . Tenga en cuenta que $e^z=e^x\cdot e^{iy}$

Así, $$e^z=e^x\cdot e^{iy}=6e^{i\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)}$$

Así que $e^x=6$ y así $x=\ln{6}$ .

Así que $y=\frac{\pi}{2}+2k\pi$

Por lo tanto, tiene como soluciones $z=\ln{6}+i\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)$ para los enteros $k$ .

Answer 2

Esperemos que, a partir de todas estas soluciones, sepas cómo resolver este problema. Ahora, vamos a intentar hacerlo a tu manera. Hasta ahora has hecho todo bien: $$z=\ln(\ln(\cos(6)+i\sin(6)))$$

Por La identidad de Euler tenemos $\cos(6)+i\sin(6)=e^{6i}$ Así que, claramente, tomando la $\ln$ de esto es sólo $6i$ : $$z=\ln(6i)$$

Ahora, si volvemos a nuestra ecuación original: $$e^z=6i$$

La ecuación que tenemos al final de todo esto es simplemente tomar la $\ln$ de ambos lados de la ecuación original. Básicamente, todo lo que has hecho es válido, pero básicamente vuelves a la ecuación original cuando hemos terminado de simplificar todo, por lo que te has desviado.

Answer 3

Supongamos que $z=x+iy$ y $x$ y $y$ son reales. Entonces $$ 6i = 6(0 + i) = e^z = e^{x+iy} = e^x e^{iy} = e^x(\cos y + i\sin y). $$ Así que $e^x = 6$ y $0+1i=\cos y + i\sin y$ . Así, $\cos y=0$ y $\sin y=1$ . Así que $y = \pi/2$ o $\pi/2+ 2\pi n$ para algún número entero $n$ .

Answer 4

SUGERENCIA:

$$6i=e^{\log(6)+i\pi/2+i2n\pi}=e^z$$