¿Cuál es la característica universal de asociados gradual?

Question

Dado un filtrado espacio vectorial (o módulo a través de un anillo) $0=V_{0}\subseteq V_{1}\subseteq\cdots\subseteq V$, se pueden construir los asociados gradual espacio vectorial $\mathrm{gr}\left(V\right)=\oplus_{i}V_{i+1}/V_{i}$. Qué $\mathrm{gr}\left(V\right)$ satisfacer una característica universal? ¿Qué es?

Antes de que alguien se de prisa, dice, "es el universal gradual espacio vectorial con un filtro de mapa de $V$," permítanme señalar que no es tan simple. Un mapa de filtrado espacios vectoriales es un mapa de espacios vectoriales que respeta la filtración. Es claro lo que el mapa de $V_{i+1}\rightarrow V_{i+1}/V_{i}$ debe ser, sino lo que sería el mapa de $\cup_{i}V_{i+1}\rightarrow\oplus_{i}V_{i+1}/V_{i}$?

Answer 1

Una característica universal proviene de la contigüidad. Desde este punto de vista, asociada gradual, no tiene ninguna característica universal, porque no es la izquierda o a la derecha adjunto.

Prueba. Si gr(-) estaban a la izquierda (a la derecha) adjunto, a continuación, en cuanto a cokernels (kernels). Considere la posibilidad de la morfismos de filtrado espacios vectoriales (0⊆0⊆V)→(0⊆V⊆V) (las tres piezas son el 0-, 1-, y 2-filtrado partes) que es el mapa de identidad de V. Es el kernel y cokernel son triviales. Pero la inducida por la mapa gr(0⊆0⊆V)→g(0⊆V⊆V) es el cero mapa de V (de grado 2) a V (grado 1), que ha no triviales kernel y cokernel. Así el asociado gradual de la (co)del núcleo no es la (co)del núcleo de el asociado gradual mapa.

Ben solución es escribir esta mal comportado functor como una composición de dos más agradable functors. La primera functor es Rees:R-filmod→R[t]-grmod (a partir de la categoría de filtrado de R-módulos a la categoría de clasificados R[t]-módulos). Creo que este functor es derecho medico adjunto R[t]/(t-1)⊗-.

La segunda es R[t]/(t)⊗-:R[t]-grmod→R-grmod, el functor que toma ⊕N_i a ⊕N_i/N_i-1. R[t]/(t)⊗- que queda adjunto a la functor que toma clasificada R-módulo para el mismo gradual módulo, considerada como una R[t]-módulo de dejar t acto por el 0.

Resultado:las asociadas gradual, no es un functor adjunto, por lo que no tiene un buen universal de la propiedad por sí misma, pero es la composición de un derecho functor adjunto y a la izquierda functor adjunto, el cual tiene propiedades universales.

Answer 2

El asociado gradual de un filtro R-módulo M es el universal R-módulo con un mapa de la Rees módulo de M en R[t] para gr M.

Permítanme explicar lo que la Rees módulo de Rees(M): es el submódulo de M[t,t^-1], la cual es generada como un R[t] módulo tⁱM_i. Dar a esta la obvia la clasificación por el grado de t. Así Rees(M)/árboles(M)=gr M, mientras que Rees(M)/(t-1)Rees(M)=M con la inducida por la filtración. Esta es la cosa que tiene un mapa para gr M.

Answer 3

El asociado gradual functor tiene una evidente universal de la propiedad si utiliza una lo suficientemente agradable definición de la noción de "filtrado". Una buena noción de la categoría de objetos filtrados a través de una categoría $\mathcal{C}$ consiste en el functor categoría $\text{Fun}((\mathbb{Z},\leq), \mathcal{C})$, donde el poset $(\mathbb{Z},\leq)$ es visto como una categoría. En otras palabras, usted sólo date la filtración de piezas de $V_i$ y arbitraria mapas de $V_i \rightarrow V_{i+1}$, en lugar de sólo monomorphisms.

Esta categoría tiene un tensor de producto a través de Día de convolución, y el dualizable objetos (si $\mathcal{C}$ es decir la categoría de espacios vectoriales sobre un campo) corresponden esencialmente a la clásica filtrada espacios vectoriales, a través de $V = \text{colim}_i V_i$

El asociado gradual functor, a continuación, simplemente es la izquierda adjunto a la "trivial de filtración functor", el envío de un gradual espacio vectorial $(V_i)_{i \in \mathbb{Z}}$ filtrada espacio vectorial con $V_i \rightarrow V_{i+1}$ siendo el cero el mapa.