Frecuencia de torsión del grupo$\langle a, b \mid a b^m = ba^n\rangle$

Question

Para números enteros$m$ y$n$ let$K(m,n)$ es el grupo$\langle a, b \mid a b^m = ba^n\rangle$. ¿Hay un nombre especial para este grupo? ¿Existe una caracterización completa de los pares$(m,n)$ para los que el grupo está libre de torsión? O bi-ordenable (en el sentido de Rolfsen: http://www.math.ubc.ca/~rolfsen/papers/luminynotes/lum.pdf )?

Answer 1

Estos grupos son de torsión libre de grupos con una sola definición de relación, lo que implica que se haga disponible. No sé si son bi-disponible aunque.

Un uno-relator del grupo es un grupo con una presentación de la forma $\langle X; S\rangle$ donde $X$ es un conjunto (posiblemente infinita) y $S$ es arbitrario de la palabra. Los grupos son claramente de un relator en grupos, y que son de torsión libre porque cada uno-relator del grupo ha de torsión si y sólo si el relator $S$ es un buen poder de algún otro elemento $R$$F(X)$, $S\equiv R^n$$n>1$. Esto se deduce del hecho de que usted puede utilizar siempre HNN-extensiones y productos gratis con la amalgamación de escribir este grupo en términos de otro-relator del grupo donde el relator ha estrictamente menor longitud. Esto le da una inducción paso. Esta inducción idea es llamado Magnus' método, después de Wilhelm Magnus, y Lyndon y Schupp del libro va en esta interpretación de Magnus "método un poquito, pero prefieren Magnus" original (en lugar sucio). Si quieres una casa a prueba, busque el papel de La Freiheitsstatz y sus extensiones de Fina y Rosenberger. Este es un libro aunque, por lo que podría buscar el papel de McCool y Schupp derecho de Un relator grupos y HNN-extensiones.

Estos grupos son localmente indicable porque son torsiones de un relator grupos (ver el artículo Sobre localmente indicable gruposde 1982, por Jim Howie), es decir, cada finitely generado subgrupo de los mapas en el infinito cíclico grupo. Esto significa que se haga disponible (véase el documento Una nota sobre el grupo de anillos de cierta torsión libre de grupos, de 1972, por Quemaduras y Hale). No sé si son bi-disponible aunque.

EDIT: acabo de mirar sobre las notas que también el link, y usted debe darse cuenta de que mi último párrafo se expanden en las notas.

Answer 2

Proposición 5.18 de Lyndon, Schupp, Teoría del Grupo Combinatorio , Springer, 1977:

Si$G = \langle X; r=1\rangle$ y$r$ no es una potencia adecuada, entonces$G$ no tiene torsión.