¿Ningún orden de Borel de los reales?

Question

Me han dicho que no hay Borel bien el orden de los reales (en ZFC). Me dicen que, de hecho, que esto es a causa de Borel determinación. Sin embargo, esto suele ser un vago handwave de la forma (a) tomar la prueba usual de que las órdenes de los reales y hace un unsolveable juego, y luego (b) si el bien ordenar es Borel, así es este juego, lo que se contradice con determinación.

Pero cuando realmente se verifique que los datos de este, (b) en realidad no siga. Probablemente depende de su versión de la "prueba usual." ¿Alguien puede dar una razonablemente precisa la prueba de que un Borel bien el orden de los reales contradice Borel determinación?

Nota: tengo una prueba de este hecho. Pero no estoy contento con él; parece que el uso de más de la maquinaria de la que realmente necesita. No es que Borel determinación es nada despreciable, supongo...

Answer 1

Este argumento se debe a Sierpinski. Hacia una contradicción, supongamos que$<_1$ es una ordenación de reales de Borel. Sea$r$ el$<_1$ - menos real tal que$\{x: x <_1 r\}$ no es nulo. El argumento es esencialmente el mismo si no existe tal$r$. Se deduce que el conjunto$W = \{(x, y): x <_1 r \wedge y <_1 r\} = A^2$ donde$A = \{a: a <_1 r\}$ es Borel también. Ahora, para cada$y \in A$,$W^y = \{x: x <_1 y\}$ es nulo y para cada$x \in A$,$W_x = \{y: x <_1 y\}$ no es nulo. Pero esto contradice el teorema de Funibi.