Desigualdad de expansión binomial

Question

En un artículo que estoy leyendo, hay un paso que parece proceder de la siguiente desigualdad: $$(1+x)^\alpha \le 1+2^\alpha x,$$ donde $0<x<1$. (También, $3\le \alpha \le 9/2$ en el contexto de la de papel, pero probablemente tiene más general $\alpha$, dicen, $\alpha\ge 1$.) Se afirma, sin una explicación, y yo siento que hay una mancha de la solución, pero no he podido probarlo sin cálculo.

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Tuve éxito con el binomio de expansión debido a la generalización de los coeficientes binomiales.

He intentado un cálculo enfoque que asume $0<x<1$$\alpha \ge 1$, y creo que fue un éxito. Considere la posibilidad de $f(x):=1+2^\alpha x - (1+x)^\alpha$, y tenga en cuenta que$f(0)=0$$f(1)=1$. A continuación, $$f'(x)=2^\alpha-\alpha(1+x)^{\alpha-1}.$$ Desde $f'(0)=2^\alpha-\alpha>0$, sabemos $f$ es el aumento en $0$. Si nos encontramos con cero o un punto crítico en $[0,1]$, estamos acabados.

Establecimiento $f'(x^*)=0$ da \begin{align*} 2^\alpha &= \alpha(1+x^*)^{\alpha-1}\\ x^* &=\left(\frac{2^\alpha}{\alpha}\right)^{1/(\alpha-1)}-1 \ge 0\\ \end{align*} (debido a que $2^\alpha>\alpha$), por lo que tenemos un punto crítico en el positivo de reales, y hemos terminado.

Estoy un poco inseguro acerca de estos últimos pasos que involucran el punto crítico; ¿es correcto?

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Pregunta: ¿hay una manera más fácil de probar la desigualdad, y es más general $x$$\alpha$?

Answer 1

Considere la posibilidad de $$ f(x)=1+(2^\alpha-1)x-(1+x)^\alpha\etiqueta{1} $$ Tenga en cuenta que $f(0)=f(1)=0$. El Valor medio Teorema dice que para algunos $0\lt x_\alpha\lt1$,$f'(x_\alpha)=0$.

Además, dado que $\alpha-1\ge0$, $f'(x)=(2^\alpha-1)-\alpha(1+x)^{\alpha-1}$ es no creciente.

Por lo tanto, $f'(x_\alpha)\ge0$$0\le x\le x_\alpha$, e $f'(x_\alpha)\le0$$x_\alpha\le x\le1$. Es decir,$f(0)=0$, $f(x)$ aumenta para$0\le x\le x_\alpha$, $f(x)$ disminuye para $x_\alpha\le x\le1$,$f(1)=0$.

Por lo tanto, $f(x)\ge0$$0\le x\le1$. Es decir, $$ 1+(2^\alpha-1)x\ge(1+x)^\alpha\etiqueta{2} $$ lo que implica $$ 1+2^\alpha x\ge(1+x)^\alpha\etiqueta{3} $$

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Tenga en cuenta que para $x\lt0$, la desigualdad de falla, $x\ge0$ es fuerte. Sin embargo, desde la $(2)$ es un poco más fuerte que el $(3)$,$x=1$, el lado izquierdo de $(3)$ $1$ mayor que el lado derecho. Por lo tanto, podemos extender $x$ un poco más allá de $1$, ¿a qué distancia está determinada por $\alpha$. Para $\alpha=1$, obtenemos que $$ 1+2x\ge1+x $$ lo cual es cierto para todos los $x\ge0$. Para $\alpha\gt1$, $(1+x)^\alpha$ crece más rápido de lo $1+2^\alpha x$, por lo que habrá algunos más $x$ donde $(3)$ mantiene.

Answer 2

Aquí hay un simple argumento de convexidad. Deje$g(x)=(1+x)^\alpha$ y observe que$\alpha>1$ implica$g''(x)=\alpha(\alpha-1)(1+x)^{\alpha-2}>0$ para$0<x<1$; Así que$g(x)$ es cóncavo. En ese caso$gf(x)$ estará limitado por encima en el intervalo$[0,1]$ by$g(0)(1-x)+x g(1)$, es decir, el segmento de línea que conecta los extremos de$g(x)$ en este intervalo. Dado que$g(0)=1$ y$g(1)=2^\alpha+1$, uno tiene$g(0<x<1) \leq 1+(2^\alpha-1)x$. Tenga en cuenta que este es un límite más fuerte que el indicado desde$2^\alpha-1<2^\alpha$.