Probar un operador integral con un núcleo es compacto

Question

Enfáticamente, sólo necesito una pista no una solución entera por favor.

Problema : Considere el operador$T:C([0,1])\to C([0,1])$ definido por$$ (Tf)(t):=\int_{0}^{1}k(s,t)f(s)ds $ $ donde$k:[0,1]^{2}\to \mathbb{R}$ satisface las siguientes condiciones

• Para todos$t\in [0,1],$ la función$k_{t}(s)=k(t,s)$ es integrable en$s$:$$ \int_{0}^{1}k(s,t)ds<\infty, $ $
• La función$ t\mapsto k_{t}\in L^{1}([0,1]) $ es continua.

Mostrar que$T$ es compacto.

Answer 1

Debe tratar de usar el teorema Arzela-Ascoli para mostrar que la imagen bajo$T$ de la bola unidad cerrada de$C([0,1])$ es relativamente compacta. Para ello, observe que para$f\in C([0,1])$ con$\|f\|\leq1$, tenemos$$|Tf(t)|\leq\int_0^1|k(s,t)|ds$ $ para$t\in[0,1]$ (para ayudar a establecer un límite uniforme) y$$|Tf(t_1)-Tf(t_2)|\leq\int_0^1|k(s,t_1)-k(s,t_2)|ds$ $ for $t_1,t_2\in[0,1]$ (Para ayudar a establecer la equicontinuidad).