Encuentra la función de aumento monotónicamente$f$ on$[ 1,+\infty )$ tal que$ x ( f ( x^{2} ) + 1 ) = f ( x ) ( x^{2}+1 ) $?

Question

Encontrar todos los monótonamente creciente de las funciones de $f$ $\left[1,+\infty\right)$ tal que

$$x\left( f \left( x^{2} \right) + 1 \right) = f \left( x \right) \left( x^{2}+1 \right) $$

No sólo existe la solución única $f(x)=x$?

En un primer momento, creo que el $f$ es monótonamente creciente es necesario y significativo aquí.

Gracias por los comentarios, hay algunos extraños soluciones más allá de mi pensamiento.

Y ahora parece que la propiedad de monótonamente creciente no es importante, tal vez es porque no existe un cerrado y hermosa forma de las soluciones.

Answer 1

Claramente, $f(1)=1$. Ahora, el funcional de la ecuación es equivalente a $$f(x^2)=\left(x+\frac1x\right)f(x)-1$$ Esto de la misma manera $$f(x^2)-x^2=\left(x+\frac1x\right)(f(x)-x)$$ O, si definimos $g(x)=\dfrac{f(x)-x}{x-1/x}$$x>1$, obtenemos $$g(x^2)=g(x)\tag1$$ Ahora, las funciones $g$ que satisfacer $(1)$ son funciones de la forma $g(x)=h(\ln(\ln x))$ donde $ h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es arbitraria función periódica tener $\ln(2)$ período.

Así, la solución general de la propuesta funcional de la ecuación es $$f(x)=x+\left(x-\frac1x\right)h(\ln(\ln x))$$ Donde $ h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es arbitraria función periódica tener $\ln(2)$ período. Ahora, el monitonicity condición añade algunas condiciones en nuestras decisiones para $h$.