¿Cuáles son los valores de las siguientes integrales?

Question

Para cada $k = 1,2,3,\dots, $ , dejemos que $I_k=\left( \frac{1}{k+1}, \frac{1}{k}\right)$ , $|I_k| = \frac{1}{k(k+1)}$ . Sea $$g_k(x)=k(k+1)\chi_{I_k} \, : \, \int_0^1 g_k(x)dx=1$$ para cada $k$ . Sea $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ se definirá de la siguiente manera $$f(x,y) := \begin{cases} 0, \quad &\text{if}\ (x,y)\not\in[0,1]^2\\ \sum_{k=1}^{\infty}[g_k(x)-g_{k+1}(x)]g_k(y) \quad &\text{if}\ (x,y)\in [0,1]^2 \end{cases}$$ Encuentre los valores de $$\int_0^1\int_0^1f(x,y)dxdy, \, \int_0^1\int_0^1 f(x,y)dydx,\, \text{and}\, \iint_{[0,1]^2}f(x,y)dxdy$$

Se supone que los valores de las integrales son $1, 0$ y $\infty$ respectivamente, pero no sé por qué (entiendo que ambos iterados son $0$ ). Por ejemplo: \begin{align*} \int_0^1 \int_0^1 f(x,y)dydx &= \int_0^1 \int_0^1 \sum_{k=1}^{\infty} [g_k(x)-g_k(x)]g_k(y)dydx\\ & =\int_0^1 \sum_{k=1}^{\infty}\int_0^1[g_k(x)-g_{k+1}]g_k(y)didx\\ & =\sum_{k=1}^{\infty} \int_0^1 g_k(y) \int_0^1 [g_k(x)-g_{k+1}(x)]dx dy\\ & = \sum_{k=1}^{\infty}1\cdot 0 = 0 \end{align*} y con los mismos cálculos, obtengo el mismo resultado para la otra iteración. ¿Dónde están mis errores? Si alguien pudiera señalarlos y explicarme cómo llegar al resultado deseado, estaría más que contento. ¡Gracias!

Answer 1

En primer lugar, para un determinado $x\in(0,1]$ sólo existe un intervalo $\left(\frac{1}{1+k_0},\frac{1}{k_0}\right]$ que contiene $x$ por lo que la suma $\sum_{k=1}^\infty(g_k(x)-g_{k+1}(x))g_k(y)$ es de hecho una suma finita (a lo sumo dos términos no nulos en la suma), y $$\eqalign{\int_0^1\left(\sum_{k=1}^\infty(g_k(x)-g_{k+1}(x))g_k(y)\right)dy&= \sum_{k=1}^\infty(g_k(x)-g_{k+1}(x))\int_0^1g_k(y)dy\cr &=\sum_{k=1}^\infty(g_k(x)-g_{k+1}(x))=g_1(x)-\lim_{k\to\infty}g_k(x)\cr &=g_1(x) } $$ Así, $$\int_0^1\left(\int_0^ f(x,y)\right)dy\,dx=\int_0^1g_1(x)dx=1\tag1$$

En segundo lugar, para un determinado $y\in(0,1]$ sólo existe un intervalo $\left(\frac{1}{1+k_0},\frac{1}{k_0}\right]$ que contiene $y$ por lo que la suma $\sum_{k=1}^\infty(g_k(x)-g_{k+1}(x))g_k(y)$ es de hecho una suma finita (tiene un término no nulo), y $$\eqalign{\int_0^1\left(\sum_{k=1}^\infty(g_k(x)-g_{k+1}(x))g_k(y)\right)dx&= \sum_{k=1}^\infty\left(\int_0^1(g_k(x)-g_{k+1}(x))dx\right)g_k(y)\cr &=0 } $$

Así, $$\int_0^1\left(\int_0^1 f(x,y)dx\right)dy=0\tag2$$ Finalmente, $$\int_{[0,1]^2}\vert f(x,y)\vert dxdy=+\infty$$ Porque si esta integral fuera finita entonces por el teorema de Fubini las integrales $(1)$ y $(2)$ sería igual. Tenga en cuenta que $\int_{[0,1]^2} f(x,y) dxdy$ no tiene sentido. $\square$