Dejemos que $(M,g)$ sea el espacio-tiempo. A hipersuperficie espacial $\Sigma\subset M$ es un submanifold de dimensión $3$ con un campo vectorial normal semejante al tiempo. Tienen muchos usos: para definir cantidades conservadas integrando sobre ellas, para definir un producto interno sobre las soluciones de la ecuación de Klein-Gordon, etc.
Sin embargo, tengo la impresión de que esos submanifolds son una generalización de la idea de "espacio en un tiempo fijo" y, por tanto, de eventos simultáneos. Pero no sé cómo justificar eso y ese es el punto principal de la pregunta.
La situación parece más sencilla cuando tenemos un familia de las hipersuperficies obtenidas por un campo vectorial dirigido al futuro como el tiempo $\xi$ satisfaciendo la condición de integrabilidad, es decir, dejando que $\omega$ la forma única físicamente equivalente $\omega_\mu = g_{\mu\nu}\xi^ \nu$ la condición $\omega\wedge d\omega = 0$ .
En ese caso, cada línea integral de $\xi$ es un observador y, si no me equivoco, cada hipersuperficie consistiría en un "espacio con tiempo fijo" para el marco de referencia de esos observadores.
Pero esto es una familia de hipersuperficies, no una sola.
¿Cuál es el significado físico de una hipersuperficie espacial en la Relatividad General? ¿Es realmente una generalización de la idea de "espacio con tiempo fijo"? Si es así, ¿cómo podemos justificar esta forma de entender este objeto matemático?
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Esto parece bastante vago. He leído el texto, pero no entiendo qué pregunta se hace.
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@BenCrowell, he reescrito la pregunta, tratando de hacerla más clara. Estoy tratando de entender la intuición detrás del significado de las hipersuperficies espaciales para tener una buena comprensión de su uso en la RG. Me parece que las hipersuperficies espaciales son una generalización de la idea de "espacio en un instante de tiempo fijo para un sistema de referencia", pero puedo estar totalmente equivocado ya que no sé cómo justificarlo. La pregunta es sobre eso.