¿Cómo encontrar $\lim_{x \to \infty} \frac{ex^{x+1}-x(x+1)^x}{(x+1)^x}$?

Question

Me encontré con este problema hace unos días y no he podido resolverlo. Wolfram Alpha dice que la respuesta es 1/2 pero la respuesta que obtuve es 0. ¿Alguien puede ver qué está mal en mi trabajo y/o proporcionar la forma correcta de resolver este problema?

$$\lim_{x \to \infty} \frac{ex^{x+1}-x(x+1)^x}{(x+1)^x} $$ $$\lim_{x \to \infty} \frac{ex^{x+1}-x[(x)(1+\frac{1}{x})]^x}{[(x)(1+\frac{1}{x})]^x} $$ $$\lim_{x \to \infty} \frac{ex^{x+1}-x^{x+1}(1+\frac{1}{x})^x}{x^x(1+\frac{1}{x})^x} $$ $$\lim_{x \to \infty} \frac{ex^{x+1}-x^{x+1}e}{x^xe} $$ $$\lim_{x \to \infty} \frac{x-x}{1} $$ $$\lim_{x \to \infty} \frac{0}{1} $$ $$0$$

Entiendo que mis errores pueden ser simples y triviales, pero estoy tratando de aprender. ¡Gracias por tu ayuda!

Answer 1

Cambia $x=\frac{1}{t}$ y simplifica: $$L=\lim_{t\to 0} \frac{e-(1+t)^{1/t}}{t(1+t)^{1/t}}=L'H=$$ $$\lim_{t\to 0} \frac{(1+t)\ln{(1+t)}-t}{t^2(1+t)+t^2-t(1+t)\ln{(1+t)}}=Taylor=$$ $$\lim_{t\to 0} \frac{\frac{t^2}{2}+O(t^3)}{t^2+O(t^3)}=\frac{1}{2}.$$

Answer 2

Esta solución no es tan elegante como la de @farruhotas, pero es más directa. Esta solución se basa en aproximaciones de Taylor y en dar rodeos. Me doy cuenta de que no es riguroso; el propósito de esto es proporcionar intuición sobre por qué el límite es $\frac{1}{2}$. (Estoy asumiendo que $x$ es un entero. Suponiendo que el límite existe, dado que $x \to \infty$, esto no es un problema.)

Considera el numerador. Los términos de mayor potencia son los términos $x^{x+1}$. Primero demostraremos que los términos $x^{x+1}$ se cancelan a medida que $x \to \infty$. Considera la expansión de $(x+1)^x$:

$$ (x+1)^x = x^x + \binom{x}{1} x^{x-1} + \binom{x}{2} x^{x-2} + \cdots \binom{x}{\lfloor x/2 \rfloor} x^{x-\lfloor \frac{x}{2} \rfloor} + \cdots + \binom{x}{x-1} x^1 + 1 $$

Sus términos de mayor potencia son del orden de $x^x$. Dado que el término $x^k$ de $\binom{x}{k}$ es aproximadamente $\frac{1}{k!} x^x$, el término $x^x$ de $(x+1)^x$ es aproximadamente

$$ x^x (1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{x!} ) \approx x^x e$$

a medida que $x \to \infty. Por lo tanto, el término $x^{x+1}$ de $x(x+1)^x$ es $ex^{x+1}$. Por lo que los poderes de $x^{x+1}$ en el numerador se cancelan.

Ahora necesitamos encontrar los poderes de $x^x$ en el numerador. El primer sumando $ex^{x+1}$ no proporciona ninguno, así que veamos el segundo sumando $x(x+1)^x. Volvamos a la expansión de $(x+1)^x$:

$$ (x+1)^x = x^x + \binom{x}{1} x^{x-1} + \binom{x}{2} x^{x-2} + \cdots \binom{x}{\lfloor x/2 \rfloor} x^{x-\lfloor \frac{x}{2} \rfloor} + \cdots + \binom{x}{x-1} x^1 + 1 $$

Ahora estamos buscando todos los términos con poderes $x^{x-1}$. Dado que el término $x^k$ de $\binom{x}{k}$ es aproximadamente

$$ \frac{-1-2-\cdots -k}{k!} = -\frac{k(k-1)}{2 k!} = -\frac{1}{2} \frac{1}{(k-2)!}$$

tenemos que el término $x^{x-1}$ de $(x+1)^x$ es aproximadamente

$$ x^{x-1} \cdot (-\frac{1}{2}) (0 + 0 + 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \cdots) \approx x^{x-1} (-\frac{e}{2}) $$

a medida que $x \to \infty. Por lo tanto, el término $x^{x}$ en el numerador es

$$ 0 + x \cdot (x^{x-1} (-\frac{e}{2})) = \boxed{\frac{e}{2} x^{x}} .$$

Ahora considera el denominador. Ya sabemos que el término $x^x$ de $(x+1)^x$ tiende a $e x^x$ cuando $x \to \infty$.

Entonces, el límite se convierte en

\begin{align*} \lim_{x \to \infty} \frac{ex^{x+1}-x(x+1)^x}{(x+1)^x} &= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e}{2} x^x }{e x^x} \\ &= \frac{1}{2}. \end{align*}

Sin trucos elegantes. Solo expansiones de Taylor y dar rodeos.

Answer 3

La expresión puede escribirse como $$x\left(e\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-x}-1\right)$$ y luego ponemos $x=1/t$ para obtener $$\frac{e(1+t)^{-1/t}-1}{t}$$ Esto se puede expresar aún más como $$\frac{e^{u} - 1}{u}\cdot\frac{u}{t}$$ donde $u=1-\dfrac{\log(1+t)}{t}\to 0$ y por lo tanto $(e^{u} - 1)/u\to 1$. Se sigue que el límite deseado es $$\lim_{t\to 0^{+}}\frac{t-\log(1+t)}{t^{2}}$$ que se evalúa fácilmente como $1/2$ a través de series de Taylor o Regla de L'Hôpital.

---

El error en tu solución es muy común. En general, no se puede reemplazar una subexpresión por su límite al evaluar el límite de una expresión. Por lo tanto, tu reemplazo de $(1+(1/x))^{x}$ con $e$ es incorrecto. Tales reemplazos solo están permitidos en dos escenarios específicos.

Answer 4

Considere $$y=\frac{ex^{x+1}-x(x+1)^x}{(x+1)^x}=\frac{ex^{x+1}}{(x+1)^x}-x$$ Ahora $$z=\frac{ex^{x+1}}{(x+1)^x}\implies \log(z)=1+(x+1)\log(x)-x\log(x+1)=1+\log(x)-x \log\left(1+\frac 1x\right)$$ Ahora, usando el teorema de Taylor $$\log\left(1+\frac 1x\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^2}+\frac{1}{3 x^3}+O\left(\frac{1}{x^4}\right)$$ se obtiene $$\log(z)=\log \left({x}\right)+\frac{1}{2 x}-\frac{1}{3 x^2}+O\left(\frac{1}{x^3}\right)$$ $$z=e^{\log(z)}=x+\frac{1}{2}-\frac{5}{24 x}+O\left(\frac{1}{x^2}\right)$$ lo cual finalmente resulta en $$y=\frac{1}{2}-\frac{5}{24 x}+O\left(\frac{1}{x^2}\right)$$ mostrando el límite y cómo se acerca.

Usando $x=10$ que es realmente pequeño, el valor exacto sería $$\frac{100000000000 e}{25937424601}-10\approx 0.480153$$ mientras que la aproximación anterior simplemente daría $\frac{23}{48}\approx 0.479167$.