Encontrar el menor $a\in\Bbb N$ $a-\lfloor\sqrt a\rfloor^2=100$

Question

No sé cómo solucionar el problema algebraicamente.

Claro, yo podría simplemente fuerza bruta esto, pero que no ayudan a entender esta ecuación. (No es la solución que es tan importante, es la forma que tiene usted allí).

¿Cómo averiguo el menor $a\in\Bbb N$ de que esto es cierto? $$a-\lfloor\sqrt a\rfloor^2=100$ $ ¿Qué pasa con un número arbitrario $b\in \Bbb N$? $$a-\lfloor\sqrt a\rfloor^2=b$$

Answer 1

$f(a)=a-\lfloor\sqrt a\rfloor^2$ da la brecha entre el $a$ y la mayor plaza de igual o menos de lo que es. Supongamos $\lfloor\sqrt a\rfloor=k$, el mayor valor de $f(a)$ es de curso obtenida cuando $a=(k+1)^2-1$; $f(a)=2k$ en este caso. Los valores máximos de $f(a)$ son precisamente los positivos números.

Por lo tanto, para resolver el más mínimo $a$$f(a)=b$, hallar el menor número igual o mayor que $b$: $c=2\left\lceil\frac b2\right\rceil$. De $\left(\frac c2\right)^2$ $\left(\frac c2+1\right)^2$el (máximo) $f(a)$ será, precisamente,$c$, por lo que el más pequeño de solución para $a$ es de uno o dos menos que el segundo cuadrado (dependiendo de la paridad de $b$) o, simplemente, $b$ añadido a la antigua plaza: $$a=\left(\frac c2\right)^2+b=\left\lceil\frac b2\right\rceil^2+b$$ Por ejemplo, si $b=100$, la más pequeña de $a$$\left\lceil\frac {100}2\right\rceil^2+100=2600$.

Answer 2

Imaginar $a$ corriendo a través de los números naturales. Mientras que %#% $ $$k^2\leq a<(k+1)^2,\quad {\rm i.e.,}\quad k^2\leq a\leq k^2+2k$ #% la diferencia de $k\geq0$ aumenta de $a-\lfloor\sqrt{a}\rfloor^2=a-k^2$ $0$. Es la primera vez que esta diferencia alcanza el $2k$ $100$ y $k=50$.