Uso de multiplicadores de Lagrange en problemas de matemáticas pura

Question

Me doy cuenta de que los multiplicadores de Lagrange son muy útiles para aplicar de problemas de optimización.

Sin embargo, yo sé que el estándar de la analítica de la prueba del teorema espectral depende de ellos. También he visto un par de otros usos/menciones de ellos en algunos puros libros de texto de matemáticas. (Por ejemplo, Wade es Una Introducción al Análisis de los usos de un ejercicio en multiplicadores de Lagrange para luego demostrar un resultado debido a Bernstein en la convergencia de series de Fourier.)

Mi pregunta, entonces, es si los multiplicadores de Lagrange son generalmente útiles técnica para extremal de los problemas que surgen en matemáticas puras. Si es así, se hay algunos bien conocidos pruebas en esta área que el uso de ellos (aparte de aquellos que he mencionado)?

Simplemente estoy curioso en cuanto a su uso fuera de aplicar la optimización, ya que la derivación de la existencia de lo que se denomina multiplicador de Lagrange es en realidad un corolario de una muy geométrica hecho--a saber, que el gradiente es perpendicular a los conjuntos de nivel.

EDIT: Para ser un poco más específico, por "útil", me refiero a que es en realidad aplicable a ciertos pura problemas de matemáticas con algo de frecuencia periódica.

Answer 1

Una vez, tuve que resolver este problema: dados dos números reales $a>b>0$, consideremos la hipérbola $$H=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,|\,x^2-y^2=a^2-b^2\}.$$One of its points is $P = (- a, - b) $. Problem: What's the distance from $P $ to the branch of $H $ to which $P $ does not belong (which, in this case, is the right branch of $H $). I solved it using Lagrange multipliers. This led me to the system$$\left\{\begin{array}{l}x+a=2\lambda x\\y+b=-2\lambda y\\x^2-y^2=a^2-b^2\\x>0\text{.}\end{array}\right.$$This, in turn, led me to the equation$$\frac{4(a^2-b^2)\lambda^4-3(a^2-b^2)\lambda^2-(a^2+b^2)\lambda}{(1-2\lambda)^2(1+2\lambda)^2}=0\text{.}$$After dividing the numerator by $4(a^2-b^2) # \lambda$ (the solution $\lambda=0$ is irrelevant here), one gets a third degree polynomial:$$\lambda^3-\frac34\lambda-\frac{a^2+b^2}{4(a^2-b^2)}.$$Since there is no second degree term, Cardano's formula can be applied directly, giving$$\lambda=\frac12\left (\sqrt [3] {\frac {a-b} {a + b}} + \sqrt [3] {\frac{a+b}{a-b}}\right)$$and therefore the point of the right branch of the hyperbola closest to $P$ is $\bigl (-\frac un {2\lambda 1},-\frac b{1+2\lambda}\bigr)$, where the value of $\lambda$ es la dada anteriormente.

Answer 2

Espero que el siguiente ejemplo es "tan puro".

Asumir $f(x)$ es continua en $\mathbb{R}$, no negativos y satisface %#% $ #% si $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$ es un intervalo con la longitud más corta que $[a,b]$% $ de f(a)=f(b) de $$\int_{a}^b f(x) dx = \frac{1}{2}$.

Definir $ Prove that $, entonces es $F(x,y) = \int_x^y f(t) dt$ $F$ $C^1$. Queremos minimizar el tema de $\mathbb{R}^2$ para limitar el $y-x$. Entonces, $F(x,y)=1/2$ $ por lo tanto, si $$(-1, 1) = \nabla (y-x) = \lambda \nabla (F(x,y)) = (-f(x), f(y))$ es tal que $[a,b]$ se reduce al mínimo, tenemos $b-a$ $ esto implica $$\lambda f(a) = \lambda f(b) = 1$, por lo tanto, $\lambda \neq 0$.