¿Cómo puedo resolver una ecuación exponencial como $2^x-3^x+4=0$ ?

Question

Me preguntaba si había una forma general de resolver una ecuación como ésta: $$2^x-3^x+4=0.$$ ¿Se puede hacer esto utilizando logaritmos? Si no es así, ¿hay alguna forma de resolverlo que no implique "adivinar" y hacer aproximaciones? La calculadora gráfica Desmos me da una respuesta que es aproximadamente $1.8453$ pero estoy seguro de que la calculadora utiliza el método de Newton o algo similar para encontrar el cero. Me gustaría saber si se pueden utilizar los logaritmos en este caso.

Answer 1

Sólo el método numérico hará el trabajo.

La forma más sencilla sería escribir $$f(x)=\log(3^x)-\log(4+2^x)=0$$ es decir $$f(x)=x\log(3)-\log(4+2^x)=0$$ para el que el método de Newton convergería muy rápido incluso (siendo perezoso) empezando a usar $x_0=0$ ) $$\left( \begin{array}{cc} n & x_n \\ 0 & 0 \\ 1 & 1.6765277714583058979 \\ 2 & 1.8431477981442746026 \\ 3 & 1.8452917833976451640 \\ 4 & 1.8452921405902699713 \\ 5 & 1.8452921405902798862 \end{array} \right)$$

Editar

Sólo por diversión, consideremos el caso de $$a^x-(a+1)^x+(a+2)=0$$ lo que, como antes, podemos escribir como $$f(x)=x \log(a+1)-\log(a+2+a^x)=0$$

Desde un punto de vista numérico, es sorprendente observar que, para todos los $a \geq 2$ la solución es $1.797 \leq x \leq 2.000$ . Por lo tanto, utilicemos, para cualquier $a$ , $x_0=\frac 95$ . Esto da como primer iterado del método Newton $$x_1=\frac{9}{5}-\frac{\frac{9}{5} \log (a+1)-\log \left(a^{9/5}+a+2\right)}{\log (a+1)-\frac{a^{9/5} \log (a)}{a^{9/5}+a+2}} $$

La siguiente tabla ofrece, para algunos valores de $a$ La solución exacta es la primera iteración del método de Newton, así como la solución exacta (que se alcanza mediante un par de iteraciones de Newton). $$\left( \begin{array}{ccc} a & x_1 & \text{solution} \\ 2 & 1.84513 & 1.84529 \\ 3 & 1.81103 & 1.81105 \\ 4 & 1.80050 & 1.80050 \\ 5 & 1.79759 & 1.79759 \\ 6 & 1.79768 & 1.79768 \\ 7 & 1.79908 & 1.79908 \\ 8 & 1.80105 & 1.80105 \\ 9 & 1.80325 & 1.80326 \\ 10 & 1.80551 & 1.80553 \end{array} \right)$$ ¡que no parece ser tan malo!

Answer 2

Podemos reescribir la ecuación de la siguiente forma. $$\left(\frac{2}{3}\right)^x+\frac{4}{3^x}=1$$ and since $f (x) = \left (\frac {2} {3} \right) ^ x + \frac {4} {3 ^ x} $ disminuye, vemos que la ecuación tiene una raíz máxima.

$f(0)>1$, $f(2)<1$ $f$ Es una función continua,

que dice que la ecuación tiene una raíz única en $(0,2)$.