Por lo que entiendo, un esquema es básicamente una gavilla en $\mathbf{Ring}^{\mathrm{op}}$ equipada con una adecuada Grothendieck topología, sujeto a un axioma que dice que los esquemas de buscar localmente como anillos conmutativos. Si no fuera por este axioma, la categoría de esquemas sería un topos, y por lo tanto se comporta muy bien. Pero debido a este axioma, la categoría de los esquemas no se porta muy bien; por ejemplo, no es ni completa ni cocomplete. Si es así, a continuación, centrarse en los esquemas parece correr en desacuerdo con Grothendieck la filosofía de que es mejor tener una buena categoría con mala objetos de una mala categoría que consta sólo de los buenos objetos. Lo que da aquí?
Respuesta
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1) los programas que se inventaron en la década de 1960, y Grothendieck no era el único que intervienen en su desarrollo (aunque él se acredita generalmente con su invención), creo que fue en Serre que definió por primera vez el $\mathrm{Spec}(A)$ y su estructura gavilla (de ahí afín esquemas); Cartan se le ocurrió la idea de los anillos de espacios (al menos esto es lo que deduzco de la lectura de la excelente introducción a la EGA I, Grundlehren edición). Y, por supuesto, la analogía fundamental es: esquemas / afín esquemas = colectores / euclidiana espacios.
2) teoría de Topos fue inventado después de esquemas (por supuesto), y es (a partir de un geométricas punto de vista de la esencia de la fallida primo de esquema de la teoría. Esquemas trajo consigo una revolución, lo que hace posible resolver, dicen, las conjeturas de Weil y el último teorema de Fermat. Puede usted nombrar a un problema de similar importancia que fue resuelto por los topos de la teoría? La diferencia entre el topos de la teoría de esquemas y es que el último es geométricamente significativa. Como con la mayoría de los matemáticos, Grothendieck la mejor obra fue, en su juventud (esquemas, motivos, etale cohomology), y en su juventud él realmente estaba haciendo la geometría, y no a la mera categoría de teoría. Con la edad Grothendieck perdido un poco de su creatividad y sobre todo se preocupaba por exceso de generalización.
3) "Grothendieck la filosofía de que es mejor tener una buena categoría con mala objetos de una mala categoría que consta sólo de los buenos objetos." Puede usted dar una referencia que muestra que este es realmente debido a Grothendieck?
