Demostrar que no hay un número entero positivo entre 0 y 1

Question

En mi libro de texto "Teoría de Números Elemental con Aplicaciones" de Thomas Koshy en la página 16, hay un ejemplo dado justo después del principio de ordenamiento de pozos

Demostrar que no hay un número entero positivo entre 0 y 1

Mi pregunta es ¿cómo puedes siquiera empezar esta prueba? Revisé el libro y busqué en Google una definición formal de números enteros, pero son bastante vagos. El libro sólo dice {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}, y algunos de los sitios web dicen que es un número sin un componente fraccionario. Entonces, ¿qué es un componente fraccionario? Tomé un curso de álgebra y los definimos como clases de equivalencia... ...pero para obtener eso, se requeriría el conocimiento de cosas básicas como que 1 es el entero menos positivo. Así que me estoy quedando atascado en este bucle. Esto es lo que dice el libro de texto.

Prueba. (como en un libro de texto)
Supongamos que hay un entero positivo a entre 0 y 1. Sea S = {n ∈ Z+ | 0 < n < 1}. Como 0 < a < 1, a ∈ S, entonces S no está vacío. Por lo tanto, por el principio de buen orden, S tiene un elemento menor $l$ donde 0 < $l$ < 1. Luego 0 < $l^2$ < $l$ así que $l^2$ ∈ S. Pero $l^2$ < $l$ lo que contradice nuestra suposición de que $l$ es un elemento menor de S. Por lo tanto, no hay números enteros positivos entre 0 y 1.

Sin embargo, no tenemos una definición de $l^2$ (y no podemos decir nada sobre su orden).
Simplemente no me convence esta prueba. ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Creo que este es un ejemplo extraño elegido para ilustrar la versión de la inducción que utiliza el ordenamiento de los enteros positivos. Eso significa que puedes asumir lo que necesites sobre la aritmética, incluyendo la cuadratura, y el hecho de que para los números reales $a < 1$ implica $a^2 < a$ .

Entonces, como dice el argumento, el cuadrado de algún entero (hipotético) entre $0$ y $1$ será menor que $a$ .

Answer 2

Tus preocupaciones son válidas: he mirado las primeras 16 páginas y ciertamente no muestra una progresión lineal. Salta de los números reales a los enteros y se espera que sigas el ritmo. El autor quiere exponer las ideas.

Pero eso no quiere decir que no se pueda aprender de ello. Tu pregunta demuestra que quieres profundizar, y puedes llenar las lagunas mediante investigaciones independientes.

Fue una gran idea buscar en Google una "definición formal de número entero", pero en la página 4 del libro encontrará

El matemático alemán Leopold Kronecker escribió: "Dios creó los números naturales y todo lo demás es obra del hombre".

Así que intenta buscar en Google "definición formal de los números naturales" .

Tanto el Ejemplo 1.9 como el Ejemplo 1.10 intentan meterte ideas en la cabeza, pero además de leer las pruebas, intenta pensar en las afirmaciones del autor durante una o dos horas y ver qué se te ocurre.

Mi opinión es que el ejemplo 1.10 parece una tontería. Es decir, "extender el principio a los números enteros", es decir, añadir $0$ . lol. Parece que el autor tiene sentido del humor, así que no te asombres con algunos de los ejemplos. Además, normalmente el principio de ordenación se establece como

$\quad$ Todo conjunto no vacío de números naturales tiene un elemento menor.

(los números naturales incluyen $0$ ).

A ver si puedes decir algo sobre un conjunto no vacío $A$ de enteros que está acotado por abajo (primero entiende qué significa la frase "acotado por abajo"). De nuevo, dale la vuelta y comprueba si puedes hacer una afirmación sobre un conjunto de enteros "acotado por arriba". Haz algunos dibujos de la recta numérica con algunos puntos en ella y piensa en ello.