Que $n\ge 7$ ser enteros positivos, mostrar que $$f(n)=\rm{lcm}[1,2,3,\cdots,n]\in (2^n,4^n)$ $
¿Alguien sabe el fondo de este problema? o tal vez tener mejor resultado en prueba o mejor?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
el $2^n$ lado se responde a $\text{lcm}(1,2,3,\ldots,n)\geq 2^n$ $n\geq 7$
El consejo de fenómeno, en este caso es que la LCM en cuestión es $e^{\psi(n)},$ donde $\psi(n)$ es de Chebyshev de la segunda función. Así, a partir de los comentarios de texto para https://oeis.org/A003418 , nos encontramos con
El primer número teorema implica que LCM(1,2,...,n) = exp(n(1+o(1))) como n -> infinito. En otras palabras, log(LCM(1,2,...,n))/n -> 1 como n -> infinito. - Jonathan Sondow, 17 De Ene De De 2005
Podemos ser muy específico con el límite superior, Rosser y Schoenfeld (1962) Teorema 12, en la página 71, $$ \psi(x) < 1.03883 \, x $$ for $x > 0.$ As $e^{1.03883} \approx 2.8259087,$ encontramos $$ \operatorname{lcm} (1,2,3,\ldots,n) < 2.826^n $$ Esta ligado es el más ajustado en $n=113,$ que es donde el máximo de $\psi(x)/x$ es obtenido.
Al parecer, Hanson (1972) mostraron que $ \operatorname{lcm} (1,2,3,\ldots,n) < 3^n, $ ver referencias en http://arxiv.org/abs/0906.2295
richard
Puntos
1
Tengo el siguiente euristic argumentos.
Es fácil ver que
$$f(n)=\prod_{p\in\Bbb P} p^{\lfloor \log_p n\rfloor},$$
donde $\Bbb P$ es el conjunto de los números primos. Subdividiendo el diapason, obtenemos
$$f(n)=\prod_{k=1}^\infty \prod_{p\in\Bbb P_k} p^k,$$
donde $$\Bbb P_k=\{p\in\Bbb P: p^k\le n<p^{k+1}\}.$$
Entonces
$$\prod_{k=1}^\infty n^{|\Bbb P_k|\frac{k}{k+1}}<f(n)\le\prod_{k=1}^\infty n^{|\Bbb P_k|}.$$
Deje $\pi(x)$ ser la cantidad de números primos menos que $x$. Entonces
$$|\Bbb P_k|\simeq\pi(n^{\frac 1k})-\pi(n^{\frac 1{k+1}})\simeq$$
$$\frac{n^{\frac 1k}}{\ln n^{\frac 1k}}-\frac{n^{\frac 1{k+1}}}{\ln n^{\frac 1{k+1}}}=$$ $$\frac{kn^{\frac 1k}-(k+1)n^{\frac 1{k+1}}}{\ln n}.$$
A continuación, $$\sum_{k=1}^\infty |\Bbb P_k|\simeq \frac{n}{\ln n},$$
que los rendimientos de un límite superior $n^{\frac{n}{\ln n}}=e^{\ln n{\frac{n}{\ln n}}}=e^n$$f(n)$.
Y $$\sum_{k=1}^\infty |\Bbb P_k|\frac{k}{k+1}\ge \frac{n}{2\ln n},$$
que los rendimientos de un límite inferior $e^{n/2}$$f(n)$.
