Como en @RobertZ la respuesta a esta pregunta, se suelen realizar las sustituciones cuando la evaluación de los límites. Por ejemplo, si a usted se le pide demostrar que $$ L = \lim_{t \to 0} \frac{\sen t^3}{t^3} = 1, $$ es muy común decir "Vamos a $x = t^3$; luego, como $t \to 0$,$x \to 0$, por lo que $$ L = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $$ lo que sabemos es $1$, y la vamos a hacer".
Lo que está pasando aquí, en general, es una aplicación de la siguiente "Teorema"
Teorema 1: Si la función de $g$ satisface [rellenar los huecos en propiedades] y $$\lim_{t \to a} g(t) = b,$$ $$ \lim_{t \a} f(g(t)) = \lim_{x \to b} f(x), $$ es decir, un límite existe si y sólo si el otro hace, y si ambos existen, son iguales.
En el ejemplo anterior, $f(x) = \frac{\sin x}{x}$$g(t) = t^3$$a = b = 0$.
Hay una forma alternativa, en la que se nos pide mostrar que $$ L = \lim_{t \to 0} \frac{\sin \sqrt[3]{t}}{\sqrt[3]{t}} = 1, $$ es muy común decir "Vamos a $t = x^3$; luego, como $t \to 0$,$x \to 0$, por lo que $$ L = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $$ lo que sabemos es $1$, y la vamos a hacer".
En este caso, el implícito teorema es muy similar a la de otros, pero con el papel de $g$ invierte (es decir, estamos sustituyendo $ t = x^3$ en lugar de $x = t^3$, por lo que la forma natural del teorema pone a $g$ en el otro lado):
Teorema 2: Si la función de $g$ satisface [rellenar los huecos en propiedades] y $$\lim_{x \to b} g(x) = a,$$ $$ \lim_{t \a} f(t) = \lim_{x \to b} f(g(x)). $$
En el segundo ejemplo anterior, tenemos $a = b = 0$, $f(t) = \frac{\sin \sqrt[3]{t}}{\sqrt[3]{t}}$, y $g(x) = x^3$.
Los dos teoremas son, obviamente, el mismo: si intercambia $a$ y $b$, $x$ y $t$, e invertir la igualdad en la última línea, que son idénticos. Pero cada uno representa un enfoque diferente para trabajar con límites, por lo que he dicho tanto.
En la segunda forma, es clara la importancia que $g$ ser surjective cerca de $a$ (es decir, para cada suficientemente pequeño intervalo de $I = (b-\epsilon, b + \epsilon)$, hay un intervalo de $I' = (a-\delta, a + \delta)$ tal que $I- \{b\} \subset g(I' - \{a\})$. (Sombrero de punta a MathematicsStudent1122 de la observación de que debo eliminar $a$ $b$ a partir de los intervalos). De lo contrario, usted puede usar cosas sustituciones como $s = t^2$, lo que daba la vuelta a una de dos caras límite en un solo lado (o viceversa), en cuyo caso uno de los límites podrían existe y el otro no.
Anexo a aclarar por qué esto podría asunto, por @MathematicsStudent1122:
Considerar $$f(x) = \begin{cases} 1 & x \ge 0 \\ 0 & x < 0 \end{casos}.$$
y ver el $L = \lim_{x \to 0} f(x^2)$. Es claro que $L$ existe y es $1$. Pero si sustituimos $t = x^2$, entonces obtenemos $L = \lim_{t \to 0} f(t)$, que no existe; por lo tanto, esta "sustitución" no es válido: me he vuelto lo que equivale a un 1 cara límite (que existe) en una de dos lados de un límite (que no existe). Los dominios de $f$ $g$ todos $\Bbb R$.
(Fin de la adición)
Mi pregunta es la siguiente:
Lo que es un conjunto razonable de propiedades que faltan para cada uno de estos teoremas? (Puedo trabajar las propiedades exactas bastante fácilmente mediante la ejecución a través de las definiciones, pero no parecen ser muy útil/seleccionable.)
Una respuesta podría ser "$g$ a nivel local es un bijection", pero que las normas de cosas como $y = x + x\sin \frac{1}{x}$ cerca de $x = 0$, por lo que parece demasiado limitado. (También las reglas de cosas como el $x \mapsto x + \sin x$ para los límites de $x \to \infty$, lo cual es una lástima.)
Reconozco que esto no es estrictamente un problema matemático. Pero mi objetivo es llegar con un "cálculo del estudiante teorema", que dice: "si usted está tratando de averiguar un límite, que puede o no puede existir, entonces está bien para hacer sustituciones de este tipo a lo largo del camino," y que la vasta mayoría de los problemas que pueden surgir en un estándar de cálculo de un libro, o incluso en el libro de Spivak.
Esta pregunta da dos teoremas, pero ambos tienen suposiciones acerca de la existencia de límites. Este viene un poco más cerca, pero aún no es totalmente satisfactoria.
Me encantaría cualquier niza-condiciones para ser ampliamente útil. En particular, creo que es completamente razonable exigir, por ejemplo, que la "sustitución de la función" $g$ ser continua, y tal vez incluso diferenciable (aunque dudo que es de mucho uso).
