¿Qué significa trabajar sin una base?

Question

Cuando la lectura de las pruebas o de las definiciones de la Wikipedia, estoy acostumbrado a ver tanto una base dependiente de la discusión y la base libre de la discusión. Tomemos, por ejemplo, esta página sobre el producto tensor, que tiene un "vector libre" espacio de discusión, junto con una representación de la matriz de discusión.

Aunque yo entiendo que no todos los espacios vectoriales tienen una base canónica, es formalmente no me queda claro lo que significa para una prueba o una definición a base dependiente vs base libre, y por qué es mejor ser la base libre en el primer lugar.

1) Si yo estoy escribiendo una prueba o la definición de un objeto, ¿qué reglas o criterios debo seguir para ser correctamente base libre? Y, una vez que saben lo que es una base dependientes de la prueba o definición parece, ¿cuál es la estrategia de la generalización a una base independiente de la prueba o definición?

2) Si todos los espacios vectoriales puede ser representada por un (no necesariamente canónica), no siempre podemos representar a los operadores y a los miembros de que ese espacio con matrices y linealmente independientes sumas? Mi gran pregunta es entonces, si realmente estamos sin hacer suposiciones al escribir las matrices o elemento sabio operaciones, ¿por qué es malo o poco caballeresca para elegir una base sin pérdida de generalidad?

Answer 1

Además de, posiblemente, ser más elegante, coordinar libre (es decir, libre de una opción de base), los métodos son necesarios cuando se trata de situaciones donde las bases son inútiles. Bases convertido en inútil por dos razones; no puede haber una base (es decir, en infinitas dimensiones de los vectores de espacio, comúnmente utilizado en la mecánica cuántica, por ejemplo, sin asumir el Axioma de Elección) o bases son realmente computacionalmente engorroso (es decir, en infinitas dimensiones espacio vectorial con el Axioma de Elección, bases existe pero no se puede calcular de forma explícita, o en lo finito dimensional espacios vectoriales de dimensión grande, bases de existir de forma explícita, pero trabajar con coordenadas requieren de una computadora para hacer todo por usted, mientras que las cosas pueden ser perfectamente hecho a mano).

Parte de esta discusión es un fenómeno general en las matemáticas (y la vida misma, posiblemente): decisiones arbitrarias decisiones a menudo conduce a problemas. Que no es un enunciado matemático, sin embargo, más de una regla de oro. Ejemplos del tipo de problemas en que son visibles desde temprano, por ejemplo, en álgebra lineal. Al definir una propiedad de una transformación lineal entre finito dimensionales espacios diciendo: "tome una representación de la matriz, y hacer esto y que a la matriz", a continuación, en orden a realmente ser capaz de decir que uno define una propiedad de la transformación lineal uno debe comprobar la independencia de la elección de la representación de la matriz. Si, por el contrario, uno es capaz de definir el concepto directamente en la transformación lineal, entonces eso es una definición que no requieren ese extra de aclaración. Tales definiciones son a veces un poco más avanzado, pero tienden a ser mucho más elegante y con mucho mayor poder explicativo.

Ya que en álgebra lineal a lo que realmente nos interesan son transformaciones lineales y las matrices son meramente para que los represente para nosotros, las matrices son una herramienta. Un computacional de la ayuda que depende de las coordenadas. Sin duda, ellos son muy útiles en los cálculos y que a menudo permiten a muy rápidamente, pero uninformatively, definir los conceptos e incluso probar los hechos. Pero la arbitrariedad de la elección que ha hecho lo que se agrega una capa de obstrucción a la comprensión de lo que está pasando. Es a menudo la mejor, aunque requieren un poco más de esfuerzo, para quitar la obstrucción y maravillarse de la abstracción. Por ejemplo, el concepto de semejanza de matrices puede ser definido de dos maneras. Dos matrices cuadradas $A,B$ del mismo orden son similares si $A=P^{-1}BP$ para algunos es invertible la matriz de $P$. Este es un muy breve fácil de memorizar la definición y puede ser utilizado para probar un montón de cosas, pero su propósito es oscuro, oculto detrás de una elección arbitraria. Ahora, lo que equivale a la definición sería que $A,B$ son semejantes si existe una única transformación lineal $T$ tal que $A$ es una representación de $T$ en algunos de base y $B$ es una representación de la misma $T$ algunos (otros) base. Así, las matrices son similares, precisamente, cuando representan la misma transformación lineal, tal vez en el uso de diferentes bases. Piensa ahora de los resultados que uno se pregunta a menudo para demostrar el uso de la primera definición. Por ejemplo, que si $A$ $B$ son semejantes, entonces tienen los mismos autovalores. La prueba es fácil, pero parece un poco como por arte de magia. Uno no puede ver la razón por la que es verdadera, o de cómo a uno le vienen a hacer la suposición de que tal resultado podría ser cierto. Con la segunda definición, aunque es obvio: desde $A,B$ representan a las mismas transformaciones lineales, es muy verosímil que los autovalores de a $A,B$ son los autovalores de a $T$, por lo que, en particular, deben estar de acuerdo.

Answer 2

La primera cosa que usted necesita entender es que el "libre" y "dependientes" son poco nítidos términos técnicos; ellos no tienen definiciones formales. Las cosas que son verdaderas son verdaderas, no importa si mucho o poco sus definiciones y pruebas hacer uso de las bases; lo que tenemos aquí es un difuso concepto que usamos para hablar de las definiciones y pruebas de los actos de comunicación entre los seres humanos, más allá de sus contenidos formales.

Una base libre de definición es uno donde es obvio que lo que se define no depende de una elección de la base, generalmente porque no mencionar una base o coordenadas. En el otro extremo del espectro, hay definiciones que directamente mencionar bases; antes de que estemos de acuerdo en que se define una propiedad en resumen espacios vectoriales necesitamos demostrar que si aplicamos la definición con dos bases diferentes, los resultados estarán de acuerdo.

Entre estos dos extremos hay una región escasamente poblada zona gris donde será obvio para algunos, pero no todos los lectores que la definición se define un concepto abstracto espacios vectoriales. Por ejemplo, en el tensor de cálculo, las definiciones que usan el convenio de sumación de Einstein aspecto extremadamente base-dependiente a primera vista, si la convención ha sido definido en términos de invisibles $\sum$ signos sobre hormigón índices. Sin embargo, si escribimos exactamente los mismos símbolos (y asegúrese de seguir un poco de cordura reglas que no son muy importantes en el invisible-$\sum$ imagen), podemos llamar "abstract índice de notación" en su lugar, y alguien familiarizado con la que se puede ver de inmediato cómo la expresión codifica una particular combinación de operaciones que ya ha convencido a sí mismo son independientes de la base, y la cosa entera es, por tanto, la base libre.

Y el punto aquí es que está bien que hay una zona gris, porque la distinción entre base y libre de base-dependiente no es un técnico.

Para las pruebas de la situación es ligeramente diferente. Una vez que se prueba algo que está demostrado, y no importa si para la solidez técnica de la prueba de que hemos elegido una base en algún lugar en ella. (En otras palabras, en contraste con las definiciones, el uso de una base en una prueba de no golpear con la prueba adicional de obligaciones).

La razón por la que uno podría querer de atención es de nuevo relacionado con las comunicaciones. Una prueba de que realmente tiene (al menos) dos propósitos. El primero es convencer de que lo que el teorema de los estados es realmente cierto. Aquí es donde formales de corrección viene, y donde no importa si usted utiliza una base o no.

Pero el segundo objetivo de la prueba es para dar a conocer cierta intuición acerca de por qué la cosa que se reivindica es necesariamente cierto. Una prueba donde la QED sale de un impenetrable ráfaga de coordinar el álgebra es todavía válida la prueba: se establece que el objetivo es verdadera. Pero no es a menudo muy útiles para responder a "¿cómo puedo pensar acerca de este teorema de tales que es intuitivamente claro para mí que tiene que ser verdad". Las pruebas de que no hablan acerca de coordenadas -- cuando están disponibles! -- por lo general, tienden a ser mejor en eso.

El verdadero objetivo aquí es que las pruebas deben ser claras y transmitir útil de la intuición. Siendo coordinar libre no es un objetivo en sí mismo, sino que es simplemente una regla de oro para saber cómo llegar a esa meta. A veces, tal vez, coordinar la manipulación es exactamente la manera de producir la prueba más clara. (Este puede ser el caso, por ejemplo, cuando podemos elegir particularmente agradable , como el de uno que diagonalizes algún operador que estamos hablando).

También, por supuesto, a veces lo mejor que podemos hacer es producir una prueba de que pasa a ser un laberinto complicado de álgebra. Luego de que todavía es una prueba válida, aunque tengamos la esperanza de algo mejor (y puede seguir buscando algo mejor, en la parte posterior del quemador).