¿Por qué se utilizan las funciones coseno y seno al representar una señal o una onda?

Question

En realidad, en las matemáticas las funciones de seno y coseno se definen en base a triángulos en ángulo recto. Pero, ¿cómo dirá la representación de una onda o señal basada en estas funciones trigonométricas (no podemos dibujar ningún triángulo en ángulo recto en el medio, es decir, en el aire) entonces cómo podemos decir eso?

Answer 1

Aunque las funciones Seno y Coseno se definieron originalmente basándose en los triángulos de ángulo recto, mirar ese punto de vista en el escenario actual no es realmente lo mejor. Puede que te hayan enseñado a reconocer la función Seno como "opuesta por la hipotenusa", pero ahora es el momento de tener un punto de vista ligeramente diferente.

Considere el círculo unitario $x^2+y^2=1$ en un plano cartesiano. Supongamos que una recta que pasa por el origen forma un ángulo $\theta$ con el $x$ -eje en sentido contrario a las agujas del reloj, el punto de intersección de la línea y el círculo es $(\cos{\theta},\sin{\theta})$ .

Piénsalo. ¿Se corresponde este punto de vista con el anterior? Ambas definiciones son las mismas.

Así que te preguntarás, por qué necesitamos este punto de vista ? Bueno, yo diría que es más fácil entender cómo las ondas sinusoidales son realmente importantes en muchos fenómenos comunes. Supongamos que empezamos a girar la línea, haciendo $\theta$ aumentan linealmente. Obtendrías algo así:

Las funciones seno y coseno son posiblemente las funciones periódicas más importantes en varios casos:

1. Las funciones periódicas de cómo el desplazamiento, la velocidad y la aceleración cambian con el tiempo en los osciladores SHM son funciones sinusoidales.

2. Toda partícula tiene una naturaleza ondulatoria y viceversa. Esto es la dualidad onda-partícula de De-Broglie. Las ondas son siempre funciones sinusoidales de alguna cantidad física (como el campo eléctrico para las ondas EM y la presión para las ondas sonoras).

El sonido en sí es una perturbación de la presión que se propaga a través de medios materiales capaces de comprimirse y expandirse. Es la presión en un punto a lo largo de la onda sonora que varía sinusoidalmente con el tiempo.

Las señales vocales no son ondas sinusoidales perfectas. Un sonido puro, procedente de un diapasón, sería la onda sinusoidal perfecta. Hablar regularmente no es una onda sinusoidal pura, ya que las personas no mantienen el mismo volumen o frecuencia. En consecuencia, este es el aspecto del ruido, comparado con las frecuencias puras.

Observa las irregularidades en la amplitud y la frecuencia de la onda de ruido.

3. Las tensiones alternas que se utilizan en las tomas de corriente habituales son, de hecho, tensiones que varían sinusoidalmente en función del tiempo.

tl;dr:

Considerar las ondas sinusoidales como "opuestas por la hipotenusa" está lejos de ser la mejor comparación cuando se trata de aplicaciones cotidianas de la física.

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Más información:

1. Historia de la trigonometría
2. Sonido
3. Modelo ondulatorio de la radiación electromagnética
4. Corriente alterna
5. Movimiento armónico simple

Answer 2

Las funciones trigonométricas forman una base para el espacio de "señales razonables". (A efectos de esta respuesta, las "señales razonables" son funciones continuas con energía finita y potencia limitada). La palabra " base "Aquí se refiere exactamente a la forma en que se utiliza en el álgebra lineal. (Esto es se discute explícitamente en la página enlazada).

¿Por qué alguien utilizaría esta base?

tl;dr : Esta base recoge nuestra experiencia de descomposición de la señal en componentes espectrales o de frecuencia. Además, tiene propiedades matemáticas que hacen que algunas ecuaciones diferenciales físicamente relevantes sean fáciles de resolver.

Físicamente, se corresponde con nuestra experiencia de que los sonidos son combinaciones de frecuencias con distintas amplitudes y fases. Un acorde musical es un ejemplo sencillo de ello. Las diferencias entre los instrumentos musicales que tocan la misma nota tienen que ver, en gran medida, con las amplitudes de los componentes de frecuencia más altos que también produce el instrumento al tocar la nota. También se corresponde con nuestra experiencia al mirar la luz después de que haya pasado por un prisma. (Ahora sabemos que) esta luz se ha dividido en sus distintos componentes de frecuencia. Así que estos fenómenos sugieren que sería conveniente/fructífero encontrar una manera de expresar una señal complicada como una suma de funciones periódicas simples. Obsérvese que ambos fenómenos se transportan a través de medios en los que no existe un triángulo físico correspondiente a la señal observada. (En el caso del sonido, las ondas longitudinales parecen dar lugar a triángulos degenerados con los tres lados paralelos a la dirección de desplazamiento. Para la luz, los "triángulos" apuntan en la dirección de los campos eléctricos o magnéticos, que son, en cierto sentido, perpendiculares al espacio).

Matemáticamente, esta base es conveniente porque la diferenciación convierte los elementos de la base en vectores en la misma base con la misma frecuencia. Por ejemplo, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \sin(9t) = 9 \cos(9t)$ . Esto es diferente a lo que ocurre con los polinomios, donde la diferenciación toma los elementos de la base del polinomio (que son $t^n$ para los enteros $n$ ) a polinomios de diferente grado, por ejemplo $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} t^2 = 2 t$ . Por supuesto, hay otras bases (infinitas), pero la mayoría de ellas utilizan funciones que no conoces o no reconocerías. (Ejemplos: Ondículas de Daubechies , coiflets ) La primera base que se utiliza podría llamarse "la base de Dirac" (aunque nadie lo hace). En esta base, una señal es una suma de copias desplazadas en el tiempo y escaladas en amplitud de la función $p(t) = \begin{cases} 1 & t=0 \\ 0 &\text{otherwise} \end{cases}$ uno para cada instante de tiempo, que especifican la amplitud de la señal en ese momento. A diferencia de los elementos de base trigonométrica, los $p$ ni siquiera es una función, por lo que es una bestia difícil de trabajar. En general, los elementos de otras bases no se diferencian tan bien como las funciones trigonométricas. Así que, aunque hay muchas bases periódicas que podría para representar una señal, la base de la función trigonométrica tiene algunas buenas propiedades que las otras no tienen.

Una consecuencia de esta bonita interacción con la diferenciación es que se pueden reducir algunas ecuaciones diferenciales a ecuaciones algebraicas. En particular, la operación $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(t)$ en la base de Dirac se convierte en $2 \pi \mathrm{i} \omega \hat{f}(\omega)$ (donde el "sombrero" significa la versión de $f$ después de cambiar de base a las funciones trigonométricas y $\omega$ es una frecuencia). Digamos que queremos resolver $$ \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} f(t) = -k^2 f(t) \text{,} $$ el tipo de ecuación que surgiría al estudiar la resonancia (por ejemplo, en instrumentos musicales o en transmisores y receptores de radio). Si cambiamos de base a las funciones trigonométricas, esto se convierte en $$ (2 \pi \mathrm{i} \omega)^2 \hat{f}(\omega) = -k^2 \hat{f}(\omega) \text{.} $$ Fíjate que no queda nada de cálculo; esto es sólo álgebra. $$ \left( (2 \pi \mathrm{i} \omega)^2 + k^2 \right) \hat{f}(\omega) = 0 \text{,} $$ por lo que $\hat{f}(\omega) = 0$ para todos $\omega$ lo que significa que la señal es cero, o $(2 \pi \mathrm{i} \omega)^2 + k^2 = 0$ . Simplificando: \begin {align*} 0 &= (2 \pi \mathrm {i} \omega )^2 + k^2 \\ &= k^2 - (2 \pi \omega )^2 \\ &= (k+2 \pi \omega )(k - 2 \pi \omega ) \text {.} \end {align*}

Así que si $\omega$ es $\pm \frac{k}{2 \pi}$ (en unidades de Hertz ), encontramos una solución para nuestro sistema. Es decir, sólo hay una frecuencia que es una solución a nuestra ecuación de resonancia. (Está presente en forma de fase creciente o de fase decreciente, pero ambas tienen la misma frecuencia).

Pero la cuestión es que el cambio de la base de Dirac a la base trigonométrica facilitó mucho la resolución de este problema. En lugar de tener que resolver una ecuación diferencial, sólo tuvimos que hacer un poco de álgebra.

Comentario técnico:

Hay varias convenciones para las transformadas de Fourier (utilizadas para ir a la base trigonométrica anterior). Puede que estés acostumbrado a una diferente. En mi trabajo, suelo utilizar $$ \mathcal{F}_{t \rightarrow \omega}(f)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \; f(t) \mathrm{e}^{-2 \pi \mathrm{i} \omega t} \, \mathrm{d}t \text{.} $$ En Mathematica, esto corresponde a FourierParameters -> {0, -2 Pi} en FourierTransform y InverseFourierTransform . La misma forma se utiliza en la segunda columna de la tabla aquí . Existen otras convenciones sobre la forma en que el " $2 \pi$ " se divide entre las transformaciones directa e inversa y si el $\omega$ es Hertz o radianes por segundo.

Answer 3

Las matemáticas han progresado desde la geometría hasta el cálculo y las ecuaciones diferenciales. Se establece que las ecuaciones diferenciales cuyas soluciones describen ondas tienen funciones sinusoidales en esas soluciones. Esto no debería sorprender, ya que las ondas son periódicas en el tiempo o el espacio, y los senos y cosenos son funciones periódicas. Como consecuencia, las ecuaciones diferenciales que tienen soluciones sinusoidales se llaman ecuaciones de onda. Véase también este enlace .

Answer 4

Periodicidad

Algunas respuestas excelentes en el $\sin x$ y $\cos x$ Las funciones y sus soluciones a las ecuaciones diferenciales relevantes ya se han dado, pero todavía se puede mencionar un punto importante: El seno y el coseno se utilizan porque son periódicos y las señales/ondas se consideran normalmente como funciones periódicas o se aproximan a ellas.

En muchos casos polinomios son las funciones de entrada para aproximar otras funciones $f(x)$ (véase, por ejemplo, Serie Taylor ), pero suelen tener la desventaja de divergente para los valores de $x$ lejos de una pequeña gama elegida. El seno y el coseno, al ser periódicos, no tienen este problema.

Answer 5

Los senos, como funciones del tiempo, no son sólo características de interés geométrico. El comportamiento de algunos componentes eléctricos dependientes del tiempo (condensadores, inductores) son simples (lineales, en cierto sentido) si y sólo si uno excita esos componentes con una frecuencia de señal conocida, como la función seno(omega * t + phi). Cuando 'phi' = pi/2, es coseno(omega * t).

Gran parte de la señalización se realiza con señales moduladas de banda estrecha, porque la banda estrecha permite rechazar eficazmente el ruido. El ruido, a diferencia de la señal está presente en TODAS las frecuencias simultáneamente, por lo que está principalmente fuera la gama de frecuencias sensibles de un receptor de banda estrecha. Radio, televisión, disco duro de magnetización, Ethernet, Wi-Fi... todos los mejores canales de comunicación modernos modernos se basan en la selección de frecuencias en cierta medida. Entendiendo de estos métodos, y los inductores y condensadores que los implementan, requiere una señal de prueba de frecuencia seleccionada para cada cálculo. Una frecuencia pura es un seno(omega *t + phi).

Esto implica mucha discusión sobre las ondas sinusoidales, los generadores de ondas sinusoidales y gráficos contra la frecuencia (significativos sólo después de la descomposición de una función compleja en... una multiplicidad de ondas sinusoidales).