¿Es fácil de resolver este problema de tipo Goldbach?

Question

Problema: Dado un número primo impar $p$, hay impares, números primos $q$, $p'$, $q'$ tal que $\{p,q\} \neq \{ p',q'\}$$p+q = p'+q'$ ?

Este comentario le informa de que es un corolario evidente de la Polignac la conjetura.
Esta conjetura está todavía abierto, y mi problema parece mucho más débil, por lo que pido una prueba.

Answer 1

Que $p$ ser un primer impar y $q$ el primer siguiente. Queremos buscar en los números naturales un % prime $p'$tal que $q'=p'+(q-p)$ es también un primer. Si encontramos este $p'$ entonces obtenemos

$p+q'=p'+q$.

Esto es probablemente más fácil de resolver, pero una observación temporal es que este seguiría inmediatamente de la conjetura de Polignac.

Answer 2

Parece probable que su resultado puede ser comprobada mediante métodos como los que se utilizan para limitar el número de excepciones a la conjetura de Goldbach. Deje $E(x)$ el número de números enteros $\le x$ que no puede ser escrito como suma de dos primos. Se sabe que $E(x) \in O(x^{1-\delta})$ algunos $\delta>0$ (por ejemplo, véanse las referencias aquí). (Es decir, el número de excepciones, si las hay, crece con lentitud.) Por lo tanto, dado un conjunto $A\subseteq \mathbb{N}_{\text{even}}$ que es lo suficientemente denso (por ejemplo, que el número de sus elementos $\le x$ crece mucho más rápido que $x^{1-\delta}$), podemos garantizar que algún miembro de $A$ es un número de Goldbach. En su caso, deje $A=\{p+q : q {\text{ is an odd prime}}\}$. Este es suficientemente denso conjunto de los números pares: por el teorema de los números primos, el número de números primos crece más rápido de lo $x^{1-\delta}$ cualquier $\delta>0$. Así que tenemos este:

Para cualquier extraño compuesto entero $p$, existen números primos $q,p',q'$ tal que $p+q=p'+q'$.

Pero para demostrar su declaración al $p$ es el primer, necesitamos algunos miembros de $A$ tener no uno, sino dos distintas Goldbach particiones. Deje $E_2(x)$ el número de números enteros $\le x$ que no puede ser escrito como suma de dos pares de números primos. (Las únicas excepciones son $6$, $8$, y $12$.) Una prueba de que $E_2(x)\in O(x^{1-\delta})$ algunos $\delta>0$ implicaría su declaración. Desde el requerido obligado es tan débil, y el resultado análogo para $E(x)$ es muy conocida, es plausible que esta enlazado podría ser probado así.