Retirada del ideal máximo en $k[y]$ no es máxima en $k[x]$.

Question

Deje $k$ ser un campo y dejar a $k[x]=k[x_1,\ldots,k_m]$ $k[y]=k[y_1,\ldots,y_n]$ $k$- álgebras. Deje $\varphi:k[x]\to k[y]$ $k$- álgebra homomorphism. Se puede demostrar (muy fácilmente) que $\varphi$ está determinado por polinomios $f_1,\ldots,f_m\in k[y]$, lo que nos dicen a dónde enviar la $x_i$.

En el caso de que $k$ es algebraicamente cerrado, como el de Hilbert, Nullstellensatz y la asociada a la geometría algebraica a su alrededor, el retroceso de cada ideal maximal en $k[y]$ es máxima en $k[x]$. Sin embargo, si $k$ es no es algebraicamente cerrado, entonces debe haber un contraejemplo, es decir, un ideal maximal en $k[y]$ que no tire hacia atrás lo máximo a lo largo de $\varphi$.

Es bastante claro que el caso de $k[x]=k[t]=k[y]$ variable $t$ no es muy fructífera, por lo que he estado tratando de llegar con un ejemplo en $\mathbb R[x,y]\to\mathbb R[x,y]$ $(x^2+1,y)$ o algún otro ideal. También sugirió en línea (en raros contextos) era el ideal de $(x^2+y^2+1)$, pero no puedo ver cómo eso va a ayudar.

En teoría me gustaría $\mathbb R[x,y]/\mathfrak m\cong\mathbb C$ a tirar para atrás a $\mathbb R[x,y]/\varphi^{-1}(\mathfrak m)\cong\mathbb R[t]$, pero he sido incapaz de tener éxito. Gracias por la lectura.

PS: esta es una tarea cuestión, y, en teoría, la respuesta podría ser 'el pullback es siempre máxima', pero yo no lo creo.

Answer 1

Usted está en para una gran sorpresa:

La extracción de la máxima ideal $\mathfrak n\subset k[y_1,\ldots,y_n]$ bajo $k$-álgebra de morfismos $\phi: k[x]\to k[y]$ es un ideal maximal $\mathfrak m=\phi^{-1}(\mathfrak n)\subset k[x]$ $k$ totalmente un campo arbitrario, posiblemente no es algebraicamente cerrado.
Esto no es trivial teorema (el uso de Zariski de la versión de la Nullstellensatz) , se ve mejor en el siguiente contexto:

Un anillo de $A$ se dice que es un Jacobson anillo si cada primer ideal de $A$ es la intersección de la máxima ideales que la contienen.
Por ejemplo, un campo de $k$ o $\mathbb Z$ son trivialmente Jacobson anillos y, mucho menos trivial, un finitely generado álgebra a través de una Jacobson anillo es Jacobson: esto implica que los anillos de polinomios $k[x],k[y] $ son Jacobson.
La propiedad que usted necesita para concluir es el siguiente teorema:
Dado un morfismos de finito tipo de $\phi:A\to B$ entre Jacobson anillos, la imagen inversa de cualquier ideal maximal $\mathfrak n\subset B$ es un ideal maximal $\phi ^{-1} (\mathfrak n)=\mathfrak m\subset A$

Bibliografía
Jacobson anillos no están muy presentes en los libros de texto estándar.
Usted puede encontrar todos los anteriores y más en Bourbaki del Álgebra Conmutativa, capítulo V, $\S$3.4 o en las Pilas de Proyecto Capítulo 9, §32.