¿Los operadores positivos: definición?

Question

Definiciones

Dado un operador de álgebra $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}(\mathcal{H})$ $1\in\mathcal{A}$

Considere la posibilidad de selfadjoint operadores de $A=A^*\in\mathcal{A}$.

Definir los elementos positivos: $$A\geq0:\iff\sigma(A)\geq0$$ y positiva de los operadores: $$A\geq0:\iff\mathcal{W}(A)\geq0$$

Problema

Hacer el rango numérico y el espectro coinciden: $$A=A^*:\quad\langle\sigma(A)\rangle=\overline{\mathcal{W}(A)}$$

Intento

Para acotado a los operadores una tiene al menos: $$\|A\|<\infty:\quad\sigma(A)\subseteq\overline{\mathcal{W}(A)}$$ Así que de cualquier operador es un elemento positivo; pero, ¿qué acerca de las converse?

Answer 1

Para los operadores normales sin límites se tiene: $$NN^*=N^*N:\quad\langle\sigma(N)\rangle=\overline{\mathcal{W}(N)}$ $ (ver extracto en: Espectro vs rango numérico)

¡Las nociones de positividad de acuerdo!