Grupo de $G$, $H \trianglelefteq G$, $\vert H \vert$ prime, luego $H \leq Z(G)$

Question

Deje $G$ ser un grupo finito. Deje $H \trianglelefteq G$,$\vert H \vert = p$, un primo, donde $p$ es el más pequeño de primer dividiendo $\vert G \vert$. Demostrar que $H \leq Z(G)$. (Sugerencia: Si $a \in H$, por la normalidad, su clase conjugacy se encuentra dentro de $H$.)

Mi enfoque hasta ahora:

Deje $a \in H$. A continuación,$C(a) = \{gag^{-1} : g \in G\} \subseteq H$. Ahora, desde la $\vert H \vert$ es primo, se deduce que el $H$ es cíclica y, además, $H$ es abelian, por lo tanto $C_H(a) = H$ todos los $a \in H$ y, equivalentemente, $[H: C_H(a)] = 1$ todos los $a \in H$.

Tratar de mostrar a $\vert C(a) \vert = [G:C_G(a)] = [H:C_H(a)] = 1$.

Así, desde la $\vert C(a) \vert = 1$ todos los $a \in H$, $C(a) = \{a\}$ todos los $a \in H$ y, equivalentemente, $a \in Z(G)$ todos los $a \in H$, por lo que podemos decir $H \subseteq Z(G)$ y, además,$H \leq Z(G)$.

Mi pregunta principal es, ¿cómo mostrar $[G:C_G(a)] = [H:C_H(a)]$. Pero también, no he usado el hecho de que $p$ es el más pequeño de primer dividiendo $\vert G \vert$, por lo que es mi razonamiento equivocado de lugar?

Answer 1

Utilizamos el siguiente hecho.

Si $G$ grupo y $H \le G$, $N_G(H)/ C_G(H) $ es isomorfo a un subgrupo de $\text{Aut}(H)$. ($N_G(H)$ es el normalizador de $H$ y $C_G(H)$ es el centralizador de $H$ $G$).

$p$ Es una privilegiada, $H$ es cíclico. Así $|\text{Aut}(H)| = \varphi(p) = p-1 $. Así que por el teorema de Lagrange $|N_G(H)|/ |C_G(H)|$ divide $p-1 $. Desde $N_G(H) = G$ $\frac{|G|}{C_G(H)}$ divide $p-1$. $p$ Es el primer menor división $G$, debemos tener $|C_G(H)| = |G|$. Así $G = C_G(H)$. Esto es igual que decir $H \le Z(G)$.

Answer 2

Ya sabemos que $e \in H$ también está en el centro del grupo.

Ahora escoja $a \in H \backslash \{e\}$.

Sabes que $C(a)$ es un subconjunto de $H$, que $|C(a)| \leq |H| = p$.

También sabemos que divide a $|C(a)|$ $|G|$.

Pero el primer menor división $p$ $|G|$.

Así, es del o $|C(a)|$ $p$ o $1$.

Si $|C(a)| = p$, entonces el $C(a) = H$. En particular, tenemos $e \in C(a)$, por lo tanto, $gag^{-1} = e$ $g \in G$.

Pero entonces $a = e$; contradicción.

Así, $|C(a)| = 1$, como usted quería.

Answer 3

Desde $H\trianglelefteq G$ y $H=\bigcup_{x\in H}C(x)$ tan para todos $x,y\in H$ $$C(x)\cap C(y)=\emptyset \; \; \; \text{or} \; \; \;C(x)=C(y)$ $Moreover $|H|=\sum_{x\in H}|C(x)|$ tal que $[G:C_G(H)]=|C(x)|\bigg||G|$el % que señaló. Ya que $p$ es un primo más pequeño dividir el orden del grupo tenemos $$|C(x)|=1, \; \; \; \forall x\in H$ $ como se desee. (-;