Muestran que

Question

Muestran que: %#% $ de #% donde $$\frac{D_n}{\langle a\rangle}\simeq\mathbb{Z_2}$ es grupo diedro y $D_n$ es generador de orden $a$.

Answer 1

El grupo cociente es el grupo de cojunto. Cuando hay sólo dos cojunto, el grupo cociente es un grupo con sólo dos elementos. Hay (hasta isomorfismo) solamente un grupo con sólo dos elementos.

Answer 2

Que $D_n=\langle a,b:a^n=1, b^2=1, b^{-1}ab=a^{-1}\rangle$ y escribe multiplicatively $\mathbb{Z}_2\cong C_2=\{1,x\}$.

Definir un mapa $\phi: D_n \rightarrow C_2$ por $$\phi(a)=1$ $ $$\phi(b)=x.$ $

Usted puede comprobar que $\phi$ rinde un homomorfismo sobreyectiva y $\ker(\phi)=\langle a \rangle$.

Answer 3

Que $D_n$ ser el grupo diedro del % normal $n$-polígono echado a un lado, y que $\langle a \rangle$ ser el subgrupo cíclico de $D_n$ generado por la rotación $a$. Luego, el subgrupo $\langle a \rangle$ tiene índice 2 en $D_n$ y por lo tanto es un subgrupo normal de $D_n$. El cociente grupo $D_n / \langle a \rangle$ tiene orden 2. Este grupo es isomorfo a $\mathbb{Z}_2$ porque hay solamente un grupo de orden 2 (hasta isomorfismo), es decir, $\mathbb{Z}_2$.