Converge la Integral impropia de una función periódica

Question

$f(x)$ Es una función periódica y $\int_0^p{f(x)}dx=0$. Mostrar $\int_1^\infty\frac{f(x)}{x}dx$ converge.

1) sé esta integral puede ser roto en $\int_1^\infty\frac{f(x)}{x}dx=\int_0^\infty\frac{f(x)}{x}dx-\int_0^1\frac{f(x)}{x}dx$ para más fácil tratar si es necesario

2) mi primer pensamiento es tan decir que $f(x)$ periódico, podemos romper la integral en partes tales que: $\int_0^\infty\frac{f(x)}{x}dx=\int_0^p\frac{f(x)}{x}dx+\int_p^{2p}\frac{f(x)}{x}+...+\int_{(n-1)p}^{np}\frac{f(x)}{x}dx+...$ de aquí podemos de alguna manera utilizar el hecho que $\int_0^pf(x)dx=0$ y que $\int_a^{a+np}f(x)dx=n\int_0^pf(x)dx$

También podemos utilizar que $\lim_{x->\infty}\frac{1}{x}=0$

¿Pero de alguna manera me puede ayudar armar estos pensamientos de tal manera que mi prueba matemática es rigurosa?

Answer 1

Definir % $ $$ F(x) = \int_{0}^x f(t) \, dt. $la da de condición de $\int_0^p f = 0$de % que $F$ también es periódica, y también tenemos $$ \lvert F(x)\rvert \leqslant \int_0^x \lvert f(x)\rvert \, dx \leqslant \int_0^p \lvert f(x)\rvert \, dx = A, $ $ digamos, todos $x$.

Ahora considerar el límite en la definición de la integral impropia e integrar por partes: %#% $ #% el primer término tiende a cero ya que limita $$ \int_1^R \frac{f(x)}{x} \, dx = \left[ \frac{F(x)}{x} \right]_1^R + \int_1^R \frac{F(x)}{x^2} \, dx = \frac{F(R)}{R}-F(1) + \int_1^R \frac{F(x)}{x^2} \, dx $ $\lvert F(R)\rvert $ y para el anterior período, $A$ $ para esta integral impropia existe como un límite bien definido. Por lo tanto la integral original existe como una integral impropia.

Answer 2

Voy a suponer que $f$ es continua. Que $F(x)=\int_1^xf(t)\,dt$. Entonces el $F(1)=0$, $F'(x)=f(x)$ % y limita desde $\int_{1+np}^{1+(n+1)p}f(t)\,dt=0$ % todo $n\in\mathbb{N}$, $F$. Entonces para cualquier $R>1$, integrando por partes tenemos $$ \int_1^R\frac{f(x)}{x}\,dx=\frac{F(x)}{x}\Bigr|_1^R+\int_1^R\frac{F(x)}{x^2}\,dx=\frac{F(R)}{R}+\int_1^R\frac{F(x)} {x ^ 2} \, dx. $$ $F$ Es limitada $F(R)/R\to0$ $R\to\infty$ y \int_1^\infty\frac{F(x) $$} {x ^ 2} \, dx. $$ es absolutamente convergente.

Answer 3

Vamos a definir $$F(x):=\int_1^x{\frac{f(y)}{y}dy}$$ Con el fin de demostrar la convergencia de $F$ $x\rightarrow \infty$ vamos a mostrar que el $F$ está vinculada con derivados que tiende a cero.

Desde $f$ periódico con $\int_0^pf(x)dx=0$ hay algunas constantes $c>0$ tal que $|\int_0^xf(y)dy|\leq c$ todos los $x\in[0,\infty)$ (uniformemente acotada). A continuación, $F$ puede ser escrito como $$F(x)=\int_1^x{\frac{1}{y}\frac{d}{dy}\bigg[\int_0^y{f(u)du}\bigg]dy}=\frac{1}{x}\int_0^x{f(u)du}-\int_0^1{f(u)du}+\int_1^x{\frac{1}{y^2}\bigg[\int_0^y{f(u)du}\bigg]dy}$$ Tenga en cuenta que para $x>1$ $$\Bigg|\int_1^x{\frac{1}{y^2}\bigg[\int_0^y{f(u)du}\bigg]}dy\Bigg|\leq c\int_1^x{\frac{1}{y^2}dy}\leq c$$ y $$\Bigg|\frac{1}{x}\int_0^x{f(u)du}\Bigg|\leq c $$ La combinación de las anteriores desigualdades con la anterior identidad acotamiento de $F$ puede deducir. También se $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{dF(x)}{dx}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}=0$. Desde $F$ está vinculada con $\lim_{x\rightarrow\infty} F'(x)=0$ converge.