Biyección entre particiones

Question

Dar una correlación biyectiva del conjunto de particiones de $[n]$ con no enteros consecutivos cíclicamente en un bloque y el conjunto de particiones de $[n]$ con no bloques de singleton.

Todas las asignaciones que surgen son inyectiva. ¿Puede alguien ayudar por favor?

Answer 1

[1,2,3]       [1] [2] [3]
[1] [2,3]     [2] [1,3]
[2] [1,3]     [3] [1,2]
[3] [1,2]     [1] [2,3]
[1] [2] [3]                      [1,2,3]

[1,2,3,4]     [1] [2] [3] [4]
[1] [2,3,4]   [2] [3] [1,4]
[2] [1,3,4]   [3] [4] [1,2]
[3] [1,2,4]   [1] [4] [2,3]
[4] [1,2,3]   [1] [2] [3,4]
[1,2] [3,4]   [1] [3] [2,4]
[1,3] [2,4]                     [1,3] [2,4]
[1,4] [2,3]   [2] [4] [1,3]
[1] [2] [3,4]  [3] [1,2,4]
[1] [3] [2,4]                   [1,2] [3,4]
[1] [4] [2,3]  [2] [1,3,4]
[2] [3] [1,4]   [4] [1,2,3]
[2] [4] [1,3]                   [2,3] [4,1]
[3] [4] [1,2]   [1] [2,3,4]
[1] [2] [3] [4]                 [1 2 3 4]

De arriba es una agrupación para el $n=3$ $n=4$ de los casos. La forma en que me acercaba a ella era a pensar en una forma de marcar cíclico enteros consecutivos en un grupo con embarazos únicos, y la regla se me ocurrió para este propósito era el de decir que si $[i,i+1]$ aparecer en cualquier bloque, a continuación, en la bijective mapa de $[i]$ lo haría por sí mismo, y $[i+1]$ lo haría a un lado y combinado con los otros (si $[i+1,i+2]$ no está en la misma cuadra). Creo que este es un bijection entre el mal conjuntos de mala conjuntos, pero supongo que hay algo por hacer para que el otro camino :).

Parece que no está claro cómo diseñar el mapa en buen... La actual vinculación de $n=4$ por encima funciona de la siguiente manera: Si no hay singleton, el mapa es una identidad, de lo contrario para cada singleton $[i]$, puesto $i+1$ en el mismo grupo. Si $[i+1]$ también es un singleton, agarrar $[i+2]$ y colocar en el mismo grupo, etc. Como esta es la tarea, no quiero echar a perder todos los granos, sólo para dar algunas ideas para empujar (podría ser que esto no te funciona, pero es una idea).

Answer 2

Voy a intentar dar una biyección en $n=2, 3, 4$ casos para ver si podemos ver algo.

{1 2}        {1,2}

{1 2 3}      {1,2,3}

{1 2 3 4}    {1,2,3,4}
{1 3,2 4}    {1 3,2 4}
{2 1,3 4}    {2,1 3,4}
{1 4,2 3}    {1,4 2,3}

Estos bijections parezca "naturales", pero realmente no puedo pensar en una forma de expandir el pensamiento...