Si $C$ es el conjunto de Cantor, $C+C=[0,2]$.

Question

Pregunta : Demostrar que $C+C=\{x+y|x,y\in C\}=[0,2]$.Mediante los pasos siguientes.

(Vamos a mostrar que el $C\subseteq [0,2]$$[0,2]\subseteq C$)

a)Mostrar que para una arbitraria $n\in\mathbb{N}$ siempre podemos encontrar $x_n,y_n\in C_n$, (donde $C_n=[0,1/3^n]\bigcup....[(3^{n}-1)/3^n,1]$). De tal manera que durante un determinado $s\in[0,2]$ tenemos $x_n+y_n=s$.

b) a Continuación, vamos a configurar los $x=\lim x_n$$y=\lim y_n$$x+y=s$.

Mi progreso : Mostrar que $C+C\subseteq [0,2]$ es obvio, y me hizo la parte a) mostrando lo si $x_n,y_n$ se encuentran en diferentes subintervalos, a continuación, conclusing que $x_n+y_n$ cubre $[0,2]$ ( se puede hacer el uso de la inducción en $n$).

Mi dificultad es en la segunda parte de La secuencia de $x_n$ es limitada por lo que debe tener un convergentes subsequence $(x_{n_{k}})$ establecer $x=\lim x_{n_{k}}$ entonces podemos concluir $\lim y_{n_{k}}=y=s-x$, lo $x+y=s$, primero pensé que $x,y$ $C$ como su cerrados sin embargo $(x_{n_{k}})$ puede no ser necesariamente en $C$, lo $x$ no puede ser en $C$ seguro.

Es este último pensamiento correcto? ¿Cómo puedo superar este último espacio en mi solución? Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Para llevar a cabo (b), tenga en cuenta que si $\ell\le n_k$, entonces el $x_{n_k}\in C_\ell$. Así, cada $\ell$ allí es una $m(\ell)$ tal que $x_{n_k}\in C_\ell$el % siempre $k\ge m(\ell)$. Que $\ell$ ser arbitraria. Claramente

$$x=\lim_{k\ge m(\ell)}x_{n_k}\;,$$

y $C_\ell$ está cerrado, así $x\in C_\ell$. Así, $x\in\bigcap_\ell C_\ell=C$.

(Usted podría estar interesado en comparar su discusión con la primera prueba aquí, son básicamente la misma idea, acaba de expresar un poco diferente).

Answer 2

Usted puede probar la $C+C=[0,2]$ mediante el uso de tenary representación del conjunto de Cantor. Deje $x,y\in C$ donde $$ x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{3^n},\:a_n=0,2\quad\text{y}\quad y=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_n}{3^n},\:b_n=0,2 $$ A continuación, puede demostrarse que $x+y$ puede cubrir todas las $[0,2]$. Deje $z\in [0,2]$. Entonces $$ z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{c_n}{3^n},\:c_0=0,1,\:c_n=0,1,2,\:n>0 $$ Si $c_0=0$,$z\in [0,1]$. Si $c_0=1$,$z\in [1,2]$.

Dado $c_n$, construimos $a_n,b_n\:(n\geqslant1)$ como sigue:

1. Si $c_n=0$ y no llevar más de $a_{n+1}+b_{n+1}$, a continuación, establezca $a_n=0, \:b_n=0$. Si $c_n=0$, y ha de llevar de $a_{n+1}+b_{n+1}$, a continuación, establezca $a_n=2, \:b_n=0$.
2. Si $c_n=1$ y no llevar más de $a_{n+1}+b_{n+1}$, a continuación, establezca $a_n=2, \:b_n=2$. Si $c_n=1$, y ha de llevar de $a_{n+1}+b_{n+1}$, a continuación, establezca $a_n=0, \:b_n=0$.
3. Si $c_n=2$ y no llevar más de $a_{n+1}+b_{n+1}$, a continuación, establezca $a_n=2, \:b_n=0$. Si $c_n=2$, y ha de llevar de $a_{n+1}+b_{n+1}$, a continuación, establezca $a_n=2, \:b_n=2$.
4. $c_0=0$ o $c_0=1$, depende de si hay carry-over de $a_{1}+b_{1}$.

Por lo tanto se demuestra que $$ z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{c_n}{3^n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a_n+b_n)}{3^n}=x+y $$ Desde $z$ cubrir toda la $[0,2]$,$C+C=[0,2]$.

Answer 3

No está claro a partir de su descripción de $C_n$ pero supongo que es el $n$' - ésimo nivel del conjunto de Cantor (es decir, con la omisión de la media $1/3^n$ juegos). Ahora $C\subset C_n$ todos los $n$ e si $x_n\in C_n$ hay$y\in C$$|x_n-y|< 3^{-n}$.

Dada la larga $x_{n_k}\in C_{n_k}$ que se han extraído, $\epsilon_k =|x_{n_k}-x|$ va a cero, como se $k\rightarrow \infty$. Pero a continuación, para cada $k$, el intervalo de $(x-\epsilon_k-3^{-n_k},x+\epsilon_k+3^{-n_k})$ intersecta $C$ no trivialmente. Como $C$ es cerrado debemos tener $x\in C$. Haciendo lo mismo para el $y$, se puede concluir en la forma en la que ya se han esbozado.