Si $S$ es un subconjunto no vacío del grupo $G$ entonces $S^{|G|}$ es un subgrupo de $G$ .

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo con $|G| = n$ y que $\emptyset \ne S \subseteq G$ .

Quiero demostrar que $S^n$ es un subgrupo de $G$ donde por $S^n$ Me refiero al conjunto $\lbrace s_1\cdots s_n \; | \; s_i \in S\rbrace$ .

Answer 1

Consideremos las potencias del subconjunto $S$ :

$$S, S^2, S^3, S^4, \ldots$$

Porque $G$ es finito, eventualmente hay alguna repetición. Sea $S^r = S^{r+s}$ donde $s > 0$ y $r+s$ es lo más pequeño posible. Entonces

$$S, S^2, S^3, \ldots, S^{r-1}, S^r, S^{r+1}, \ldots, S^{r+s-1}$$

son subconjuntos distintos de $G$ . Además, $\{S^r, S^{r+1}, \ldots, S^{r+s-1}\}$ es un subgrupo (cíclico) de orden $s$ en el semigrupo de subconjuntos no vacíos de $G$ . Por lo tanto, es igual a $H/K$ para algunos $K \trianglelefteq H \leq G$ (esto no es demasiado difícil de demostrar, véase 3.57 en "A Course in Group Theory" de Rose). Por lo tanto, $s$ divide el orden de $G$ .

A continuación, observe que para cada $t \geq r$ tenemos que $S^t = S^{t+s}$ . Elija $r \leq t < r+s$ para que $s$ divide $t$ . Entonces $S^t = S^{t+t} = (S^t)^2$ Así que $S^t$ es un subgrupo (de hecho, es la única potencia de $S$ que es un subgrupo). Ahora si bastaría con demostrar que $|G| \geq r$ . Si este es el caso, entonces $|G| - t = ks$ para algunos $k \geq 0$ y así $S^{|G|} = S^{t+ks} = S^t$ .

Dejemos que $x \in S$ . Ahora $xS^i \subseteq S^{i+1}$ Así que $|S^i| = |xS^i| \leq |S^{i+1}|$ . Por lo tanto, si $|S^i| = |S^{i+1}|$ entonces $xS^i = S^{i+1}$ . Por lo tanto,

$$S^{i+2} = S^{i+1}S = xS^iS = xS^{i+1} = x^2S^{i}$$

y de manera similar $S^{i+k} = x^kS^i$ para todos $k \geq 1$ . En particular, cuando $k = |G|$ vemos que $S^{i+|G|} = S^i$ . Así, $i \geq r$ ya que $S^r$ es la primera potencia de $S$ que se repite. Así que cuando $i < r$ tenemos $|S^i| < |S^{i+1}|$ que da

$$|S| < |S^2| < |S^3| < \ldots < |S^r|$$

y así podemos encontrar al menos $r$ elementos distintos en $|S^r|$ lo que demuestra que $|G| \geq r$ .

Relacionado con esta respuesta: semigrupos cíclicos .