Axioma de elección dependiente y un problema sobre espacios métricos

Question

En la realización de una tarea en espacios métricos, había una pregunta declaró como este:

Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico, y $S$,$T$ ser subconjuntos de a $X$ (supongo que son no vacíos). Si $S$ es compacto, muestran que no existe $x\in S$ tal que $d(x,T)=d(S,T)$ donde$d(x,T):=\inf\{d(x,t):t\in T\}$$d(S,T):=\inf\{d(s,t):s\in S\land t\in T\}$.

Ya he resuelto el problema, pero hay un paso que he utilizado algo que no entiendo.

Supuse que $S$ es infinito (o por el contrario hay sólo un número finito de puntos para elegir) y que, por contradicción, no hay ningún punto de $x$ $S$ satisfacer la condición (de modo que la siguiente construcción es válida). Entonces, he elegido los puntos en $S$, de acuerdo a las siguientes reglas:

En primer lugar, recoger $s_1\in S$ tal que $d(S,T)\lt d(s_1,T)\lt d(S,T)+1$. A continuación, para cada $n\in\Bbb N_{\ge 2}$, pick $s_n\in S$ tal que $d(S,T)\lt d(s_1,T)\lt d(S,T)+\frac{1}{n}$$d(s_n,T)\lt d(s_{n-1},T)$.

He oído que hacer esto repetidas de la construcción de puntos requiere el axioma de dependiente de la elección. Es este el caso? Si es así, ¿cómo es el axioma de la dependiente de la elección de los involucrados? Por favor, tenga en cuenta que el axioma no fue mencionado en las conferencias, así que por favor explique en detalle cómo el axioma de obras.

Answer 1

Su elección el uso de la recursión sobre los números naturales (contables), y como cada elección depende de la anterior, esto implica usar el Axioma de la dependiente de la elección (DC).

Es suficiente utilizar sólo el Axioma de contables elección (AC${}_\omega$) (estrictamente más débil que el de DC) para cada una de las $n\geq 1$ eligiendo $s_n$, de modo que $d(s_n,T)<d(S,T)+1/n$. Tal $s_n$ existe por la definición misma de $d(S,T)$.

Después de haber construido esta secuencia debe utilizar la compacidad, pero esto probablemente ya lo saben.

Answer 2

Sí, tu prueba como se dijo hace uso del axioma de la dependiente de la elección, lo cual está bien. Puesto de manera informal, este axioma sólo los estados que la construcción de la secuencia $(s_i : i \in \mathbb{N})$ es válido. Este tipo de construcción se utiliza todo el tiempo, pero en el contexto formal de la teoría de conjuntos un axioma es necesario indicar que se puede hacer.

Hay otra forma de demostrar el resultado, sin embargo, que no usa el axioma de elección. Aquí es un boceto. Supongamos que el resultado de la falla. Para cada una de las $n \in \mathbb{N}$, vamos $$U_n = \{ z \in S: d(z, T) > d(S,T) + 1/n\}.$$ Then each $U_n$ is open in $S$, and $S = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} U_n$. But the cover $(U_n : n \in \mathbb{N})$ has no finite subcover, which means that $S$ no es compacto, lo cual es una contradicción.

El método de uso de la compacidad define la totalidad de la cubierta de la $(U_n : n \in \mathbb{N})$ a la vez; no hay inductivo de la secuencia de decisiones tomadas. Como usted familiarizarse con el uso de la compacidad de esa manera, usted puede demostrar que algunos otros usos de el axioma de dependiente de la elección puede ser reemplazado con más directa de los usos de la compacidad.

Answer 3

El Principio de la Dependiente de la Elección, esencialmente, nos indica que cuando se define una secuencia por recursión, no es necesario especificar exactamente cómo los elementos se eligen, sino que siempre se puede seguir su recursiva supuestos.

Aquí no se especifica qué punto es elegido. Usted acaba de afirmar que existe un punto de satisfacer la condición de que usted desee. Dependiente de la Elección es exactamente lo que usted necesita para asegurarse de que, efectivamente, tiene una secuencia real, y no sólo arbitrariamente largas secuencias finitas.